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* 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数乘矩阵 三、矩阵乘法 四、矩阵的转置 一、矩阵的加法 矩阵A与矩阵B的和,记作 即 由此可以定义矩阵减法: 将它们的对应元相加,所得到的 矩阵称为 定义1.3 设有两个同型矩阵 规定: 矩阵 的负矩阵为 即如果 则 例1.5 将例1.1中的两个工厂 第二季度生产的各类型号的照相机用矩阵B表示: 产的各类型号的照相机(单位:千台)用矩阵A表示 在第一季度生 则两个工厂在前两个季度各型号照相机的总产量 可表示为 比第一季度增产的各型号照相机的数量. 而 表示两个工厂第二季度 即 注: 由矩阵加法定义,只有同型矩阵才能相加(减), 且矩阵相加(减)就是它们的对应元相加(减). 由性质(3)、(4)可以看出,零矩阵在矩阵代数中 (交换律)； （结合律）; 矩阵加法满足以下运算律: 起着普通数0的作用. 由于数字相加满足交换律、结合律,由矩阵加 (减)法的定义,容易得到以上加法的运算律. 二、数乘矩阵 m行n列矩阵称为数k与矩阵A的积,记作 即 定义1.4 用数k乘以 中的每一元所得的 根据定义,数与矩阵的乘法满足以下运算律: (1) k(pA)=(k p) A; (2) k(A+B)=kA+ kB; (3) (k+p)A=kA+ pA; (4) 1A=A, 0A=O; 设A,B是 矩阵, k, p是两个常数,则 例1.6 在本节的例1.5中, 如果该公司计划在第三 季度生产的各型号照相机产量均比上一季度提高 10%,则第三季度各工厂生产的各型号照相机的数 量(单位:千台)可表示为 第二季度生产的各类型号的照相机用矩阵B表示: 例1.7 已知矩阵 如果矩阵X 满足关系式 3X A=X+2B.求矩阵X. 解 由3X A=X+2B,可得2X=X+2B.所以 三、矩阵乘法 定义1.5 设矩阵 记作C =AB. 其中 为了便于记忆,矩阵A与B的乘法可直观地 表示如下: 矩阵A与B的乘积定义为 矩阵 第 i 行 第j列 注: 矩阵A的列数与 矩阵B的行数相同， AB才有意义. AB的行数与A的行数相同,列数与B的列数相同. 例1.9 设矩阵 求AB和BA. 解 类似地,有 注:矩阵乘法一般不满足交换律,即当AB有意义时, 当AB有意义时称A左乘矩阵B或称B右乘矩阵A. AB BA (A右乘B) (A左乘B) 例1.10 设矩阵 试验证AC=BC. 由此例你可以得到什么结论? 解 所以AC=BC. 由此可知,当AC=BC时,且 时,一般不能得 到A=B的结论.即矩阵乘法一般不满足消去律. 例1.11 设矩阵 求AB、AE. 解 当AB=O 时,一般不能得出A=O或B=O的结论. 由此可知:当 时,可能有 单位矩阵与数1在数的乘法中的作用类似. 注：可以看出:用单位矩阵右乘A仍等于A,用单位 矩阵左乘A,也等于A. 说明在矩阵乘法中, 计算 例1.12 如果两个n阶矩阵A、B满足AB=BA, 解 设矩阵B与A可换,则AB =BA,由此可知B必为 于是 则称A与B是可换的, 设矩阵 , 求所有与A可换的矩阵. 2阶矩阵.设 由AB =BA,即 解得 . (a,b为任意常数) 则所有与A 可换的矩阵为 得方程组 取 矩阵乘法与数的乘法满足以下运算律: (1)结合律 (AB)C=A(BC); (2)左右配律 A(B+C)=AB+AC; (3)对任意常数k, (4)AO=O,OA=O; (5)对任意的矩阵 ,有 k(AB)=(kA)B=A(kB) 注：矩阵乘法不满足交换律. 设A是一个n阶矩阵，对于正整数k， 称为A的k次幂，规定 . 容易证明:对于任意的正整数k,l,有 注: (1)由于矩阵乘法不满足交换律,所以 例如,设 (2) 而 个 然而,如果n阶矩阵A与B可交换,即AB=BA 时, 一般 等等 则有 即如果 四、矩阵的转置 定义1.6 将 矩阵A的行与列互换,得到的 矩阵,称为矩阵A的转置矩阵.记作 或