工程数学-积分变换（张元林）课后习题讲解2-5.docVIP

2-5 1.求下列常系数微分方程的解： 1）； 8）； 12）； 16）。 分析：解题步骤，首先取Laplace变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取Laplace逆变换得最后的解. 解：1）方程两边取Laplace变换，并结合初始条件可得 即 . 从而方程的解为 8）对方程两边取Laplace变换，并结合初始条件，有 即 由留数计算法，由于是的一个一级极点，是的一个三级极点，从而方程的解为 . 12）对方程两边取Laplace变换，并结合初始条件，有 即 从而方程的解为 . 16）对方程两边取Laplace变换，并结合初始条件，有 即，从而 . 为了确定，将条件代入上式可得，所以方程的解为 2.求下列变系数微分方程的解： 1）； 3）； 5）. 解: 1）方程两边取Laplace变换，有 即，亦即 从而 两边积分可得 或 取其逆变换，有 欲求，可由条件得到，即，所以方程的解为 其中称为零阶第一类Bessel函数. 3）方程两边取Laplace变换，有 整理化简后可得 即 这是一阶线性非齐次微分方程，这里 所以 从而方程的解为 （为任意常数） 5）方程两边取Laplace变换，有 即 整理化简后可得 两边积分可得 即 从而方程的解为 （为任意常数） 其中称为n阶第一类Bessel函数。 3.求下列积分方程的解： 1）； 3）； 5）. 解:1）显然，原方程可写为 两边取Laplace变换，并利用卷积定理，有 所以 从而方程的解为 3）原方程可写为 两边取Laplace变换，并利用卷积定理，有 即 取其Laplace逆变换，有 ， 即表明及均为所求.这里，为零阶第一类Bessel函数. 5）原方程可写为 两边取Laplace变换，并利用卷积定理，有 所以 从而方程的解为 ， 即及均为所求. 4.求下列微分积分方程的解： 1）； 3）； 5）； 解:1）原方程可写为 两边取Laplace变换，得 即 从而方程的解为 3）利用微分性质与积分性质，对方程两边取Laplace变换，有 即 利用延迟性质，方程的解为 5）利用微分性质与积分性质，对方程两边取Laplace变换，有 即 方程的解为 5．求下列微分、积分方程组的解： 1）； 4） 8） 解：1）对方程组的两个方程两边分别取Laplace变换，有 即 解之可得 取其逆变换，可得方程组的解为 4）对方程组的三个方程两边分别取Laplace变换，有 解之可得（注意：后两个方程表明且） 取其逆变换，可得解为 8）对方程组的两个方程两边分别取Laplace变换，有 即 消去，可得 即 将的结果代入得 化简得 取其逆变换，可得方程组的解为 7．设在原点处质量为的一质点在时在方向上受到冲击力的作用，其中为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律. 解:由题意知，在时刻质点处于轴正向的点处，其运动速度为，而加速度为，且有初始条件.根据Newton定律，该质点的运动规律归结为下述微分方程的初值问题： 方程两边取Laplace变换，且记，则 即，从而方程的解（即质点的运动规律）为 11．某系统的激励，当系统响应时，求 1）系统的传递函数； 2）系统的脉冲响应函数； 3）系统的频率响应函数. 解:1）由传递函数的定义知 2)由脉冲响应函数的定义知 3)当系统的传递函数中取时，则得到系统的频率响应函数，即