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《空间中的平行关系》课件1
* * * * * * * * * * * 1.2.2 空间中的平行关系 一. 平行直线 1. 平行直线的定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 2. 平行公理:过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行. 3. 公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行,此性质又叫做空间平行线的传递性. 没有公共点 公理4的符号表述为: a//b,b//c a//c. 公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行,它是证明两直线平行的重要依据. 4. 等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. 已知:如图所示,∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1,AC//A1C1,且射线AB与A1B1同向,射线AC与A1C1同向, 求证:∠BAC=∠B1A1C1. 证明: 对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平面内的情形,在初中几何中已经证明,下面证明两个角不在同一平面内的情形。 分别在∠BAC的两边和∠B1A1C1的两边上截取线段AD=A1D1和AE=A1E1. 因为, 所以AA1D1D 是平行四边形, 所以 同理可得 所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1,AE=A1E1,DE=D1E1, 于是△ADE≌△A1D1E1, 所以∠BAC=∠B1A1C1. 5. 空间四边形的有关概念: (1)顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形,叫做空间四边形; (2)四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点; (3)所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边; (4)连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。 如图:空间四边形ABCD中,AC、BD是它的对角线 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托,如下图中的两种空间四边形ABCD和ABOC. 空间两条直线的位置关系有三种: 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没 有 异面直线 不在任何一平面内 没 有 例1.已知:如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形。 证明:在△ABD中,因为E,H分别是AB,AD的中点,所以 EH//BD,EH = BD, 同理,FG//BD,FG= BD, 所以EH//FG,EH=FG, 所以四边形EFGH是平行四边形。 例2.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别是AB , BC 的中点, 求证:EF∥A1C1. 证明:连结AC. 在△ABC中, E, F分别是AB, BC 的中点. 所以 EF ∥ AC 又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1 所以 AA1∥CC1 且 AA1=CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 所以AC∥A1C1 从而 EF∥A1C1. 例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点. 求证:∠C1E1B1 = ∠CEB. 分析:设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB. (1) 下列结论正确的是( ) A.若两个角相等,则这两个角的两边分别平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交 D 练习 题 (2) 下面三个命题, 其中正确的个数是( ) ①三条相互平行的直线必共面; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③若四边形有一组对角都是直角,则这个四边形是圆的内接四边形 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 一个也不正确 D (4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四条边的中点为顶点的四边形是( ) A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 (3).空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α=600, 则β等( ) A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° D B 6. 如果OA∥O1A1, OB∥O1B1 ,那么∠AOB与∠A1O1B1 ( ) A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.以上答案都不对 5. 设AA1是正方体的一条棱,这个正方体中与AA1 平行的棱共有___条. 3 C 7.如图,已知 AA1, BB1, CC1 ,不共面 且AA1∥BB1, BB1∥CC1 ,AA1=BB1, BB1= CC1. 求证:△ABC ≌ △A1B1C1. A A1 B B1 C C1 再见!
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