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《空间中的平行关系》教案
《空间中的平行关系》教案
教学目标
1、知识与技能
(1)认识和理解空间平行线的传递性,会证明空间等角定理.
(2)通过直观感知,归纳直线和平面平行及平面和平面平行的判定定理.
(3)掌握直线和平面平行,平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用这些定理解决空间中的平行关系问题.
2、过程与方法
通过类比和转换的思维方法,将空间中的某些立体图形问题转化为平面图形的问题,从而化难为易,化繁为简,带未知为已知,使问题得到很好的解决(线∥线 线∥面 面∥面).教学重难点
重点:平面的基本性质与推论以及它们的应用;线线平行及平行线的传递性和面面平行的定义与判定.
难点:自然语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用;如何由平行公理以及其他基本性质推出空间线、线,线、面和面、面平行的判定和性质定理,并掌握这些定理的应用.
教学过程
一、导入
看图观察,图中的关系是什么?
二、平面中的平行关系
1. 平行直线
(1)空间两条直线的位置关系
①相交:在同一平面内,有且只有一个公共点;
②平行:在同一平面内,没有公共点.
(2)初中几何中的平行公理:
过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.
【说明】此结论在空间中仍成立.
(3)公理4(空间平行线的传递性):
平行于同一条直线的两条直线互相平行.即:如果直线a // b,c // b,那么a // c.
【说明】此公理是判定两直线平行的重要方法:寻找第三条直线分别与前两条直线平行.
2. 等角定理
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
需要说明的是:对于等角定理中的条件:“方向相同”.
(1)若仅将它改成“方向相反”,则这两个角也相等.
(2)若仅将它改成“一边方向相同,而另一边方向相反”,则这两个角互补.此定理及推论是证明角相等问题的常用方法.
3. 空间图形的平移
如果空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F'的位置,则说图形F在空间做了一次平移.
注意:图形平移后与原图形全等,即对应角和对应两点间的距离保持不变.
图形平移有如下性质:
(1)平移前后的两个图形全等;
(2)对应角的大小平移前后不变;
(3)对应两点的距离平移前后不变;
(4)对应两平行直线的位置关系在平移前后不变;
(5)对应两垂直直线的位置关系在平移前后不变.
4. 证明空间两直线平行的方法
(1)利用定义
用定义证明两条直线平行,需证两件事:一是两直线在同一平面内;二是两直线没有公共点.
(2)利用公理4
用公理4证明两条直线平行,只需证一件事:就是需找到直线c,使得a // c,同时b//c,由公理4得a // b.
5. 直线与平面平行
(1)直线和平面的位置关系有三种,用公共点的个数归纳为
(2)线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
符号表示为:
(Ⅰ)该定理常表述为:“线线平行,则线面平行.”
(Ⅱ)用该定理判断直线a和平面α平行时,必须具备三个条件:
①直线a不在平面α内,即 .
②直线b在平面α内,即.
③两直线a、b平行,即a // b.
这三个条件缺一不可.
(3)线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和两平面的交线平行.
符号表示:若 ,则a // b, 即“线面平行,则线线平行”.
【说明】
a. 此定理可以作为直线与直线平行的判定定理
b. 定理中有3个条件:
①直线a和平面α平行,即a //α;
②平面α、β相交,即α∩β=b;
③直线a在平面β内,即 .
三者缺一不可.
(4)线面平行定理的应用
应用线面平行的判定定理证明线面平行,关键是找到平面内与平面外相互平行的直线.
应用线面平行性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助平面,然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行.
6. 两个平面的位置关系
同平面内两条直线的位置关系相类似;可以从有无公共点来区分:
① 如果两个平面有不共线的三个公共点,那么由公理3可知:这两个平面必然重合;
② 如果两个平面有一个公共点,那么由公理2可知:这两个平面相交于过这个点的一条直线;
③ 如果两个平面没有公共点,那么就说这两个平面相互平行.
由此可知两个不重合的平面的位置关系:
(1)平行——没有公共点;
(2)相交——至少有一个公共点(或有一条公共直线).
7. 面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
已知:、,,∥,∥(如图所示)
求证:∥
证明:用反证法
假设
∥,,∥
同理有∥
由公理4知∥,这与相矛盾.
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