复杂的随机模拟案例.pdf

第一部分 模拟与概率 肖柳青 主讲 lucyxiao@sjtu.edu.cn PUB:SSMA_xiao@yeah.net 第六章 复杂的模拟举例 [1] 有趣的蒙提霍尔问题（Monty Hall problem ） [2] 抽球问题 [3] 街头骗局揭秘 [4] 求圆周率π(另一种用蒙特卡洛方法) [5] 四人追逐问题 [6] 排队系统模拟实例 CASE1. 有趣的蒙提霍尔问题 （Monty Hall problem ） • 蒙提霍尔问题（Monty Hall problem），也 称为三门问题， • 是一个源自博弈论的数 学游戏问题，问题的名 字来自美国的电视游戏 节目：Let’s Make a Deal，该节目的主持人 名叫蒙提·霍尔（Monty Hall） 这个游戏的玩法是： 参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇门的后 面藏有一辆汽车，而另外两扇门的后面则各藏 有一只山羊。参赛者从三扇门中随机选取一扇， 若选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车。 当参赛者选定了一扇门，但尚未开启它的时候， 节目主持人会从剩下两扇门中打开一扇藏有山 羊的门，然后问参赛者要不要更换自己的选择， 选取另一扇仍然关上的门。这个游戏涉及到的 问题是：参赛者更换自己的选择是否会增加赢 得汽车的概率？ 数学理论求解 • 由于游戏开始是参赛者是从三扇门中随机地选 取一扇门，所以在更换选择之前，参赛者赢得 汽车的概率为1/3。 • 经分析可知，若参赛者一开始选中汽车，则更 换选择后一定选不到汽车； • 若参赛者一开始没有选中汽车，则更换选择后 一定能选到汽车。 • 为了求解参赛者更换选择之后赢得汽车的概率， 这里引入两个随机事件： • A= 一开始选中汽车 B=更换选择后选中汽车 根据全概率公式可求得参赛者更换选择之后赢 得汽车的概率为 1 2 2 P (B ) P (A)P (B | A) P (A)P (B | A) 0  1 3 3 3 参赛者更换选择后赢得汽车的概率增大了，从最 初的1/3变为2/3了，显然参赛者应该更换自己的 选择。 随机模拟方法求解 • 设两只羊的编号分别为1和2，汽车的编号为3。 • 现在从数字1、2、3中随机选取一个数字，若一 开始选中1或2，则更换选择后选中3，即赢得汽 车；若一开始选中3，则更换选择后选中1或2， 即得不到汽车。 • 将这样的试验重复进行n次，记录一开始选中1 或2的次数m （即更换选择后赢得汽车的次数）， 从而可以确定更换选择后赢得汽车的频率m/n。 由大数定律可知当试验次数n增大时，频率m/n 趋近于更换选择后赢得汽车的概率。 MATLAB程序代码如下： • function p = SheepAndCar(n) % p = SheepAndCar(n), 利用蒙特卡洛方法求解蒙提霍尔问题，求参赛 者更换选择之后 % 赢得汽车的概率p。这里的n是正整数标量或向量，表示随机抽样的次数。 • • for i = 1:length(n) • x = randsample(3,n(i),’true’); %随机抽样 • p(i) = sum(x~=3)/n(i); %概率的模拟值 • end • SheepAndCar 函数代码的注释部分给 出了该函数的调用格式。 • 下面调用SheepAndCar函数，针对不同的n，求参 赛者更换选择之后赢得汽车的概率的模拟值 • p = SheepAndCar([10,100,1000,10000,100000]) %求概率模拟值向量 • p = • 0.7000 0.6600 0.6650 0.6600 0