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各种数值积分方法的MATLAB 程序和分析 -- 以一个实际问题为例 问题回顾 从某条河的横截面上获得与河岸不同距离(y, m)处的深度数据(H, m)如下，确定这条河的平 均深度和横截面积。 y 0 1 3 5 7 8 9 10 H 0 1 1.5 3 3.5 3.2 2 0 问题分析 由于所得数据为离散点，并且数据点的间隔不均匀，因此先对离散数据进行连续化处理， 再对所得函数进行数值积分。离散数据点的分布图如下： 河道深度与和河岸距离的关系(离散数据) 3.5 3 2.5 m 度 2 深 道 1.5 河 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 河岸距离 m 一般来说，不考虑泥沙沉降因素的河底，用变分法来求取切力最小的河床面，可以知道 椭圆是最理想的截面形状，然而根据上图可知，河床底部明显存在泥沙沉降。并且该河段可 能处于流向曲率较大的河段，导致内河床(x 5)泥沙沉降较多，河床较浅；而外河床(x 5) 部分由于水流速度大于泥沙启动速度，河床底部泥沙被水流携带，因而较深。根据泥沙启动 概率与流速的关系可将泥沙沉降量与河岸距离近似处理为三次关系，如下图： 泥沙沉降量与离河岸距离的关系 0.5 ) 量 0 带 携 为 -0.5 值 负 （ -1 量 降 沉 -1.5 沙 泥 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 离河岸距离 1 由于泥沙启动速度为止，那么将泥沙沉降和携带量达到平衡的地方作为拟合参数处理。在理 想河床截面形状的基础上以上述三次关系修正形状，则回归的函数模型如下： = √1 − ( − 5)2 − ( − ) ( − 10) 1 2 3 4 上式中前一项为理想河床截面的椭圆方程，后一项为泥沙沉降量的修正项，先利用非线性回 归对上述数据进行拟合。非线性回归采用Levenberg –Marquardt 算法，其函数fitnonpoly.m 源代码如下： %本函数使用Levenberg–Marquardt 算法计算待求数据点在要求函数类下的最佳拟合函数 %输入： % x 为待拟合数据点的横坐标，y 为待拟合数据点的纵坐标 % fun 为自变量和待求参数的函数句柄，格式为fun(x,a) ，其中a 为参数向量 % n 为待求参数向量个数，即a 长度 % tol 为结果要求精度 %输出： % funchd 为所得的非线性拟合函数，可直接使用 function funchd=fitnonpoly(x,y,fun,n,tol) m=length(x); %输入检查 if m~=length(y) error(The length of x must equal that of y !) elseif m=n+1 error(The length of x must be l