华北理工大学概率论与数理统计3.3二维连续型随机变量复习题详解.pdf

第三节 二维连续型随机变量 1.二维连续型随机变量及概率密度 2. 二维均匀分布和二维正态分布 小结： 3. 二维连续型随机变量的边缘概率密度 4. 二维连续型随机变量的条件概率密度 特别提示： 5. 二维连续型随机变量的独立性 P {(X , Y ) G} f (x , y )dxdy 一、二维连续型随机变量 G 1）定义：对于二维随机变量( X , Y ) 分布函数F (x , y ) ，如果存在非负函 数f (x , y ) ，使得对于任意的x ，y 有： y x F (x , y )   f (u, v)dudv ,   则称( X ,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数f (x , y )称为二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度，或称为X 和Y 的联合概率密度。 2) 概率密度的性质： 10 f (x , y )  0 ;   20   f (x , y )dxdy F (,) 1 ;   3 0 若f (x , y )在点(x , y )连续，则有 2  F (x , y ) 这个公式非常重要！ f (x , y ). xy 40 设G 是平面上的一个区域，点( X ,Y )落在 P {(X , Y ) G} f (x , y )dxdy. G 内的概率为：  G P {(X , Y ) G} f (x , y )dxdy. 几何解释 G P {(X , Y ) G} 在几何上z =f (x , y ) 表示空间曲面。 的值等于以G 为底， z f (x , y ) 以曲面 为顶面的柱体体积。 随机事件的概率= 曲顶柱体的体积=密度函数在区域G上的二重积分     f (x , y )dxdy F (,) 1   几何意义： 介于曲面z=f (x, y )和xoy 平面的空间区域的体积为1。 例1 设二维随机变量(X , Y)的概率密度为     3 x 4y f (x , y ) ce x  0，y  0 分片函数非  0 其它 零区域 ⑴求常数c；(2) 求(X , Y) 的联合分布函数； (3) 求P {0  X  1，0  Y  2}. (4) P {X  Y  1 } ． ⑴由密度函数的性质，得 解：  