随机误差的正态分布频数分布.PPT

3.3.1 随机误差的正态分布 1. 频数分布：测定某样品100次，因有偶然误差存在，故分析结果有高有低，有两头小、中间大的变化趋势，即在平均值附近的数据出现机会最多。 表3-1 频数分布表 3.3.1 随机误差的正态分布 1. 频数分布：测定某样品100次，因有偶然误差存在，故分析结果有高有低，有两头小、中间大的变化趋势，即在平均值附近的数据出现机会最多。 表3-1 频数分布表 频数分布特点 1) 离散特性：全部数据是分散的、各异的，具有波动性；但这种波动又是在平均值周围波动，或比平均值稍大些、或稍小些。所以用标准偏差来衡量。 2. 正态分布 测量数据一般符合正态分布规律，即高斯分布，正态分布曲线数学表达式为： y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。 σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差 概 率 正态分布曲线：以x-μ为横坐标建立的曲线。曲线与横坐标-∞到+∞之间所夹的面积，代表所有数据出现概率的总和，其值应为1，即概率P为： 概 率 正态分布曲线：以x-μ为横坐标建立的曲线。曲线与横坐标-∞到+∞之间所夹的面积，代表所有数据出现概率的总和，其值应为1，即概率P为： 标准正态分布曲线 定义：横坐标改为u，纵坐标为概率密度得到的曲线。曲线与横坐标所夹的面积，代表所有数据出现的概率总和，其值应为1。 概率P为： 随机误差出现的区间 测量值出现的区间 概率 (以σ为单位) u=±1 x=μ±1σ 68.3% u=±1.96 x=μ±1.96σ 95.0% u=±2 x=μ±2σ 95.5% u=±2.58 x=μ±2.58σ 99.0% u=±3 x=μ±3σ 99.7% 例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%，σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在(1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于2.00%的概率。 解：(1) (2) 属于单边检验问题： 阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率为0.5000，故阴影部分以外的概率为0.5000－0.4938=0.62%，即分析结果大于2.00%的概率为0.62%。 1. 平均值的标准偏差： 2. 少量实验数据的统计处理 (1) t分布曲线 正态分布是无限次测量 数据的分布规律。对于有 限次测量数据则用t 分布曲 线处理。用s代替σ，纵坐 标仍为概率密度，但横坐 标则为统计量t。 t分布曲线的意义： t分布曲线下面一定区间内的积分面积，就是该区间内随机误差出现的概率。 t分布曲线与标准正态分布曲线的区别 t值与u值的区别：用有限次测定的s代替了总体σ。 前者随f的不同而不同。 前者比后者更“矮胖”，说明有限次测定值的分布更分散。 t积分，是先设定P，已知f，查t值，此时P对应了正负t曲线下的面积；u积分，是已知μ和σ值，求 ， 再查P值。 (2) 平均值的置信区间 置信度P：在某一t值时，测定值落在（μ±ts)范围内的 概率。落在此范围之外的概率为（1-P)，称为显著性水 准α。 ta, f ：t值与置信度P及自由度f关系。 例：t0·05, 10表示置信度为95%，自由度为10时的t值。 t0·01, 5表示置信度为99%，自由度为5时的t值。 → 对于少量测量数据，即当 n有限时，必须根据t分布进行统计处理： 含义：表示在一定置信度下，以平均值为中心，包括总体平均值的范围。这就叫平均值的置信区间。 例：测定未知试样中Cl-的质量分数，4次结果为47.64%，47.69%，47.52%，47.55%。计算置信度为90%，95%和99%时，总体平均值μ的置信区间。 解： 3.4 显著性检验 3.4.1 t检验法 1. 平均值与标准值的比较 步骤： a. 将 ，μ和 n代入 ，求