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平板速度任意的Couette流动 刘通 2011011483 航院 航12 班 电 Email liu-t11@mails.tsinghua.edu.cn 物理问题与数学提法 在粘性流体力学中，Couette流动为由壁面运动引起的流动。本文考察相距 的两 2h 块无限大平板之间的简单Couette流动，即流场仅由平板的运动引起，而不存在压力梯 度产生的Poiseuille流动。 由于Couette流动为线性流动，可以利用叠加原理，因而单独考察一侧平板的运动， 既可以通过叠加得到两侧平板均运动产生的流动。如图1所示，为一侧平板运动导致的 Couette流动的示意图 U(t) y h o x -h 图1 Couette流动示意图 对于平板速度任意的Couette流动，其为抛物型方程的初边值问题，如下： ∂u ∂2u ν ∂t ∂y2 u y,0 0 。 （1） ( ) u −h,t 0,u h,t U t ( ) ( ) ( ) 若初始流场不为静止，则可以叠加上一个Couette流动的制动问题的解即可。 下面，我们首先考察平板速度函数为常值、简谐波的简单情况，再利用Fourier分解 推广到任意周期函数，最后考察任意（分段）光滑速度函数下Couette流动的速度场形 式，并加以验证。 求解过程 一、恒定平板速度Couette流动的起动问题 h2 此时U t U ，取定速度、长度与时间特征参数为：U, h, ，可以得到如下的无量 ( ) ν 纲方程： * 2 * ∂u ∂ u * *2 ∂t ∂y * * u y ,0 0 。 （2 ） ( ) * * * * u −1,t 0,u 1,t 1 ( ) ( ) * 下面考虑其求解过程。为简便起见，在不引起混淆的情况下，直接用u 代替 表示无量纲