Reducibility among Combinatorial Problems问题之间的规约证明.pdf

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Reducibility among Combinatorial Problems问题之间的规约证明

By 果果 证明格式 证明Π∈NP 1. 最优性问题转为判定性问题 2. 构造非确定多项式时间算法 a) 猜想…… (多项式时间复杂度) b) 检查…… (多项式时间复杂度) c) 若是,回答“yes”,否则回答“no” 多项式时间变换 ≤ 1. 对 的每个实例I (列出所有参数和限制) 1 2. 构造 对应实例f(I) (计算参数,检查限制) 2 3. 证明f 是多项式时间算法 4. 证明I 是“yes”实例当且仅当f(I)是“yes”实例 证明Π 是NP 完全的 1. 证明Π∈NP 2. 找到已知的NP 完全问题Π’,证明Π’≤ Π 1. SAT ∝ 0-1 整数规划 问题回顾: SAT: 输入析取范式 , , … , , 是否有赋值使得它们都为真 1 2 0-1 整数规划: 输入矩阵C 和列向量d,是否有0-1 组成的列向量X 使得CX = d 输入对应: SAT 中的每个析取范式 , , … , 是由符号集{ , , … , ; ̅̅̅, ̅̅̅, … , ̅̅̅}的部分 1 2 1 2 1 2 组成的。 构造相应的0-1 整数规划问题的输入矩阵C 和列向量d 1, ∈ = { = 1 – ( 中补变量的个数) −1, ̅ ∈ 0, ℎ = + 输入多项式时间转化: 转化的步骤需要构造矩阵C,构造过程需要的复杂度为矩阵的元素数和列向量的元素数, 即为O(np) ,是多项式的。 输出对应: 若SAT 问题中存在赋值使得 , , … , 都为真,将这个赋值作为0-1 整数规划问题的 1 2 列向量解 X ,则有 CX 所得的列向量的分量有 ’ = ∑ ∗ ≧ ,构造非负的松弛变 =0 量 ,使得∑ ∗ = + ,则每个 SAT 的解对应上面的变换可以得到CX = d 的 =0 解。 若0-1 整数规划问题中有解X 使得CX = d,则该X 对应可以使得 , , … , 均为真的 1 2 赋值。考虑任意 , 为0 当且仅当所有 ∈ 取 = 0,所有 ̅ ∈ 取 = 1,则 可知∑ ∗ = – 1,

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