医用高等数学定积分 幻灯片.ppt

四、分部积分法 证明 由导数公式 得 对上两边求不定积分得 定理　 分部积分公式 所以 解 另一 思路： 例25 求 更复杂了! 解 例26 求 例27 求 解 解 例28 求 例30 求 解 解 例29 求 例31 求 解 例32 求 解 例33 求 解 解 例3-34 求 解 例35 求 解 例36 求 故 * 一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法 四、分部积分法 五、有理函数的积分 不定积分 一、不定积分的概念 定义1 若在某区间上 ,则称　 为　 在该区间上的一个原函数． 例如 : , , . , , . 问题： (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ (3) 原函数的全体如何表示? 分析： ， . （2）若 和 都是 的原函数; 则 （ 为任意常数） 结论： （1）不唯一; （3） 为 原函数的全体 ; . 定义 若 是函数 的一个原函数,则 的原函数的全体　　　　 称为　　的不定积分. 记 为　　　 . 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 由此可知,求 不定积分只需求出 一个原函 数, 再加上任意常数 . 例1 求 . 解 . 例2 求 . 解 . 不定积分的几何意义: 它们在点 处有相同的斜率 ，即这些切线互相平行． 故 为在点x处切线斜率为f (x)的一族曲线。 是积分曲线　　 上、下平移所得到一族积分曲线，称为积分曲线族． 二、不定积分的性质和基本积分公式 性质1 . 性质2 . 基本积分公式 ； ； (4) ； (3) ； ； ； ； ； . 例3 求 解 . 例4 求 解 . 例5 求 解 . 例6 求 解 . 例7 求 解 . 三、换元积分法 第一换元积分法(凑微分法) 定理 则有换元公式 例8 求 . 解 . . 解 . 解 . 例9 求 . 例10 求 . 对换元积分比较熟练以后,不必写出中间变量. 例11 求 . 解 C a x + + = 2 3 ) ( 3 2 . 例12 求 . 解 . 例13 求 . 解 C x x xd + = = ò 2 ) (ln 2 1 ln ln . 例14 求 解 . 例15 求 解 . 另一方法: 解 . 例16 求 解 另一方法: 解 . 例17 求 . 例18 求 . 解 . 2. 第二换元积分法 定理 解 令 则 从而 例19 求 （根式代换） 例20 求 （根式代换） 解 令 则 从而 若被积函数中含有 时,可采用 三角替换的方法化去根式,这种方法称为三角代换. 三角代换常有下列规律： 可令 可令 可令 例21 求 解 设 . . 例22 求 解 令 解 令 例23 求 . 于是, 综上所述得：