凹凸性、渐近线、作图 幻灯片.ppt

* * 函数的凹凸性、渐近线与作图 一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图 若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方， 则称曲线在该区间内是凸的． 一、函数的凹凸性 * * (a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方 (b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方 * * （一） 凹凸性定义 * * 凹曲线的一阶导数变化规律： * * 凸曲线的一阶导数变化规律： * * 定理1：( 用二阶导数判定函数的凹凸性 ) （二）凹凸性的判定 * * （三 ） 拐点 定理1：（拐点必要条件） * * 定理2（拐点的充分条件） 例1.判断曲线 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是凹的. 说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 . 求拐点的一般步骤： （2）求二阶导数； （5）求出拐点的纵坐标． （1）求函数的定义域； （3）求定义域内使二阶导数等于零 或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果 符号不同,该点就是拐点的横坐标； 凹、凸区间 解：函数的定义域为 令 得 是拐点． 在 两侧 例2.求曲线 及拐点． 没有二阶导数不存在的点 列表如下： - 0 + 凸 拐点 凹 符号发生改变,则 解:函数 的定义域为 的拐点． 当 时， 不存在． 当 时， 在 的两侧， 的符号发生改变.点 是该曲线的拐点． 例3.求曲线 当 时， * * x=linspace(-10,10); y=nthroot(x,3); plot(x,y) 的拐点． 解 函数 的定义域为 由于 在 处没有定义,所以该曲线 例4.求曲线 没有拐点． * * ezplot(x*y=1,[-10 10]) * * 预习：P112—115 P108 习题4 20(2)(3) 21 作 业 * * 二、曲线的渐近线 * * 曲线渐近线的分类 * * 例5.求曲线 的铅直渐近线． 解 因为 所以 和 是曲线的两条铅直渐近线． * * ezplot(x*(x-1)*y=1,[-10 10]) * * 注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线． * * 对于函数 所以， 是曲线的一条水平渐近线． 由于 * * (3)斜渐近线 如果曲线 是曲线 的一条斜渐近线． 则 或 有 例子见书98页例6 * * 三、函数作图 * * [解] * * 极大 凹 凹 凸 凸 拐点 拐点 * *