数值的分析差值计算.ppt

第2章 插 值 法 2.1 引 言 2.2 拉格朗日插值 2.2.2 拉格朗日插值多项式 2.2.3 插值余项与误差估计 * * 第1节 引言 第2节 拉格朗日插值 第3节 均差与牛顿插值多项式 第4节 埃尔米特插值 第5节 分段低次插值 第6节 三次样条插值 散点上的函数值，即已知函数表 在实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示，只能由实验、观测得到 在一系列离 yn 问题背景 如何计算 ？ 我们希望 寻求一个简单且易于计算的函数 来近 似 ，即 可选为多项式、三角多项式、有理函数或样条函数等。 使得 其中 （1.1） 设函数 在区间 上有定义，且已知在点 上的值 ，若存在一简 单函数 ，使 成立，就称 为 的插值函数，点 称为插值节点，包含节点的区间 称为插值区间，求插值函数 的方法称为插值法. 式（1.1）称为插值条件， 称为 被插值函数。 2.1.1 插值问题的提出 （1.2） 若 是次数不超过 的代数多项式， 其中 为实数，就称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值. 若 为分段的多项式，就称为分段插值. 若 为三角多项式 ，就称为三角插值. 即 从几何上看，插值法就是确定曲线 ，使其通过 给定的 个点 ，并用它近似已知曲线 . 图2-1 见图2-1. 定理 2.1.2 多项式插值 因此满足插值条件(*)的不超过n次的插值多项式是唯一存在的. 2.2.1 线性插值与抛物插值 对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式. 先讨论 的简单情形. 问题： 给定区间 及端点函数值 ， 要求线性插值多项式 ， 使它满足 （1.2） 其几何意义就是通过两点 的直线. 图2-2 如图2-2. 由 的几何意义可得到表达式 （点斜式）， （两点式）， （2.1） 由两点式看出， 是由两个线性函数 （2.2） 的线性组合得到，其系数分别为 及 ，即 （2.3） 称 及 为线性插值基函数。 显然， 及 也是线性插值多项式，在节点 及 上满足条件 下面讨论 的情形. 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式 几何上 是通过三点 的抛物线. 可以用基函数的方法求 的表达式，此时基函数 是二次函数，且在节点上满足条件 （2.4） 使它满足 接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法， 以求 为例， 由插值条件，它应有两个零点 及 ， 可由插值条件 定出 其中 为待定系数， 于是 可表示为 （2.4） 同理 利用 ， ， ， （2.5） 显然， 将 , ， 代入 (2.5) , 立即得到二次插值多项式 它满足条件 得 将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过 个节点 的 次插值多项式 . （2.6） 根据插值的定义 应满足 先定义 次插值基函数. 为构造 ， 定义1 若 次多项式 在 个节点 上满足条件 （2.7） 就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数. 显然它满足条件（2.7）. 于是，满足条件（2.6）的插值多项式 可表示为 （2.9） （2.8） 与前面的推导类似， 次插值基函数为 （2.7） （2.6） 由 的定义，知 形如（2.9）的插值多项式 称为拉格朗日插值多项式， 而(2.3)与(2.5)是 和 的特殊情形. （2.9） （2.3） （2.5） 定