数值的分析习复题课.ppt

数值分析 复习 第一章 绪论 §1 绪论：数值分析的研究内容 §2 误差的来源和分类 §3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则 一、误差的分类（绝对误差，相对误差） 例1-1 设 x*=2.18是由精确值x 经过四舍五入得到的近似值。问 x的绝对误差限ε和相对误差限η各是多少？ 掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构 掌握Lagrange插值多项式误差分析方法和证明方法 掌握Newton插值多项式的形式及误差 掌握差商表的构造过程 第三章数值积分 插值型积分公式 Newton-Cotes 型求积公式 复化求积公式 Romberg算法 Gauss积分 数值微分 (§1 ,2)需要掌握： 常微分方程数值解 复习 常微分方程初值问题 Euler法（显式Euler公式，隐式Euler公式，梯形公式，改进Euler公式，变形Euler公式）基本公式 Runge-Kutta方法（四阶和二阶） 线性多步法Adams预报校正系统 收敛性和稳定性的定义 局部截断误差的定义，计算及确定公式的阶 数值方法的稳定性区域 常微分方程组，高阶常微分方程初值问题的计算 一、对于给定数值方法求解常微分方程初值问题 对于显式单步方法，直接代入相应计算公式计算 对于隐式方法，若f(x,y)关于y是线性的，可从隐式公式中解出yn+1,使公式显式化，不需要迭代，否则，需要用迭代法计算 对于多步方法，需要用同阶的单步法提供多步法所需要的值 对于高阶或方程组的初值问题，需要进行转化 基本要求 会利用相应方法计算一阶常微分方程的初值问题 数值方法阶的确定(局部截断误差) 含参公式的参数的确定（三） 数值方法稳定性的判定 三、确定某些方法中的参数 主要用Taylor展开将方法的局部截断误差的各项在xn处进行Taylor展开并比较h同幂项的系数，得到待定参数满足的方程组，求解方程组即可 四、收敛性和稳定性 得正则方程组 解得 于是有 拟合曲线为： Simpson公式n=2 梯形公式 n=1 1. 等距节点(Newton-Cotes)的积分公式是如何构造的？ 2. N点等距节点的积分公式及其误差式怎么表示？ 3. 如何由上式给出梯形公式、Simpson公式及其误差？ 复化梯形公式及其误差 例 3-0 用四点复化梯形公式计算 0 1 例 3-1 用复化梯形公式计算积分 ，应将区间[0,1]多少等分，才可以使其截断误差不超过 解：复化梯形公式的误差为 而 从而 令 于是，只要将区间至少68等分,就可以达到需要的精度要求。 复化Simpson公式及其误差为： 要求： 了解各种积分公式的原理，构造方法, 会利用公式计算积分， （复化）梯形公式，(复化)Simpson公式及余项表达式，求解代数精度 会利用代数精度构造积分公式，并用构造的积分公式计算相应积分值 Romberg算法的实现原理，计算，外推加速技术； 数值微分公式的构造方法 一、确定数值积分公式或数值微分公式，并推出余项 根据代数精度的概念 对Guass型求积公式，可借助Guass点与求积系数的关系确定参数 推导余项时，可设 对于数值微分公式，可构造适当的插值多项式或应用Taylor展开式推导 p72 方法二、p87例2 利用变量替换,将[a,b]转化为[-1,1]区间 余项表达式 二、计算定积分和函数的导数的近似值 对于给定的被积函数与求导函数，应用指定的数值积分公式或数值微分公式计算， t9,t12,t13,t18,t19，t25，t26等 明确积分公式与微分公式 三、确定复化求积公式和数值微分公式的步长或节点数，使计算结果满足所给精度要求 根据复化求积公式和数值微分公式的余项或截断误差表达式，对满足精度要求解一个相应的不等式，即可确定所需的步长或节点数 n=213 n=4 N169.2 n=170 n=4 误差 精确解 数值解 xn 二、对于给定的常微分方程初值问题的某种数值方法，证明其阶次 * 解：因为 x=x * ±0.005 ， 所以绝对误差限为ε=0.005 相对误差限为 二、有效数字 则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。 定义 设数 x 的近似值可以表示为 其中 m 是整数,αi (i=1,2, …, n) 是0到9 中的一个数字，而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为 结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。 例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字： 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数，也可以通过绝对误差限来判断。 有5位