数值的分析ppt第8章_矩阵特征值问题计算.ppt

由(2.3)式 收敛速度由比值r=|λ2/λ1|确定. 总结上述结论，有 　　同理，可得到 定理13 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，主特征值λ1满足|λ1||λ2|≥?≥|λn|，则对任意非零初始向量v0=u0(a1?0)，有幂法计算公式为 则有 ⑴ ⑵ 　　例1 用幂法计算矩阵 的主特征值与其对应的特征向量. 　　解　取 v0=u0=(0,0,1)T , 则 直到k=8 时的计算结果见下表 0.5, 1, 0.7500 11.0000 5.5000, 11.0000, 8.2500 8 0.5, 1, 0.7500 11.0005 5.5002, 11.0005, 8.2501 7 0.5, 1, 0.7501 10.9974 5.4987, 10.9974, 8.2494 6 0.5, 1, 0.7494 11.0142 5.5075, 11.0142, 8.2576 5 0.5, 1, 0.7536 10.9223 5.4621, 10.9223, 8.2306 4 0.5, 1, 0.7360 11.4444 5.7222, 11.4444, 8.361 3 0.5, 1, 0.8611 9 4.5, 9, 7.75 2 0.5, 1, 0.25 4 2, 4, 1, 1 k 从而 　　见书p303-例3. 8.2.2 幂法的加速方法 1、原点平移法 由前面讨论知道，应用幂法计算A的主特征值的收敛速度主要由比值 r=|λ2/λ1|来决定，但当r 接近于1时，收敛可能很慢. 这时，一个补救办法是采用加速收敛的方法. 其中p为参数，设A的特征值为?i，则对矩阵B的特征值为?i-p ，而且A, B的特征向量相同. 引进矩阵 B=A-pI . 如果要计算A的主特征值?1, 只要选择合适的数p，使?1-p为矩阵B=A-pI 的主特征值，且 那么，对矩阵B=A-pI应用幂法求其主特征值?1-p, 收敛速度将会加快. 这种通过求B=A-pI的主特征值和特征向量，而得到A的主特征值和特征向量的方法叫原点平移法. 对于A的特征值的某种分布，它是十分有效的. 　　例4 设A∈R4×4有特征值 比值r=|λ2/λ1|≈0.9. 做变换 B=A-12I (p=12), 则B的特征值为 应用幂法计算B的主特征值μ1的收敛速度的比值为 虽然常常能够选择有利的p值, 使幂法得到加速, 但设计一个自动选择适当参数p的过程是困难的. 下面考虑当A的特征值是实数时，怎样选择p使采用幂法计算λ1得到加速. 且使收敛速度的比值 设A的特征值都是实数，且满足 则对实数p，使矩阵A-pI的主特征值为?1-p或?n-p时，当我们计算?1及x1时，首先应选取p使 显然，当?2-p=-(?n-p )时，即 P=(?2+?n)/2＝P* 时ω为最小值，这时收敛速度的比值为 当希望计算?n时，应选取 p=(?1+?n-1)/2＝P* 使得应用幂法计算?n得到加速. 当A的特征值都是实数，满足 且?2, ?n能初步估计出来，我们就能确定P*的近似值. 例2 用原点平移加速法求例1中矩阵A的主特征值与其对应的特征向量. 对B应用幂法，仍取 v0=(0,0,1)T , 则 解 取p=-2.5, 做平移变换B=A-pI，则 迭代5步的计算结果见下表 0.5, 1, 0.7500 13.5000 6.7500, 13.5000, 10.1250 5 0.5, 1, 0.7500 13.5007 6.7503, 13.5007, 10.1256 4 0.5, 1, 0.7507 13.5179 6.76, 13.5179, 10.1406 3 0.5, 1, 0.7545 14 7, 14, 10.5625 2 0.5, 1, 0.875 4 2, 4, 3.5 1 k 可得到B的主特征值为 ?1?13.5000, 主特征向量为 v1 ? (0.5 ,1.0, 0.7500)T , 因此，A的主特征值为 ?1 = ?1 +p ? 11.0000, 主特征