数值的分析7-牛顿-科特斯公式.ppt

第2章 数值积分与数值微分 牛顿-科特斯公式 牛顿-科特斯公式（续） 几个常见公式 科特斯系数表 系数特点和稳定性 牛顿-科特斯公式的代数精度 余项的一般形式 举例（一） 复合求积公式 复合梯形公式 复合simpson公式 复合科特斯公式 举例（二） h 很小时的误差 2.3 龙贝格算法 梯形法的递推化 龙贝格算法 理查森外推加速法 1 梯形法的递推化 龙贝格算法 基本思想 样条插值积分 样条插值积分（续） 样条插值积分（续） * * 牛顿-科特斯(Newton-Cotes)公式 及其复合求积公式 等距节点的插值型求积公式称为牛顿-科特斯公式： 取等距节点：xi = a + i h， ，i = 1, 2, …, n 令 x = a + t h 得： 插值型求积公式 其中 注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可通过查表得到。与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。 科特斯(Cotes)系数 牛顿-科特斯公式： n = 1: 代数精度 = 1 梯形求积公式 n = 2: 代数精度 = 3 抛物线求积公式 Simpson求积公式 n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式 T S C 科特斯系数具有以下特点： (1) (2) (3) 当 n ? 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当 n 较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。 故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。 当 n ? 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。 定理 当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1 阶代数精度。 证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。 由插值型求积公式的误差公式得 作变量代换 x = a + t h，并将 xi = a + i h 代入得 再作变量代换 t = n - s，得 又 n 偶数 余项 梯形公式的余项 中值定理 Simpson公式的余项 三次Hermite插值 定理 (1) 若 n 为偶数， f (x) ?Cn+2[a, b] ，则存在 ? ?(a, b) 使得 设 ，则有 (2) 若 n 为奇数， f (x) ?Cn+1[a, b] ，则存在 ? ?(a, b) 使得 例：分别用梯形公式和simpson公式计算积分 解： a＝0, b＝1, f (x) = e -x ， 由 simpson 公式可得 由梯形公式可得 与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。 提高积分计算精度的常用两种方法 用 复合公式 用 非等距节点 复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。 将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 (i = 0, 1, …, n) 复合梯形公式: Tn 余项： ，? ?(a, b) 复合simpson公式: Sn 余项： ，? ?(a, b) 4 4 4 4 4 复合cotes公式: Cn 余项： ，? ?(a, b) 解： 例：设 ，利用下表中的数据分别用复合梯形公式和复合simpson公式计算积分 0.936 5/8 0.909 6/8 0.990 2/8 0.977 3/8 0.841 0.877 0.954 0.997 1 f (xi ) 1.0 7/8 1/8 0 4/8 xi ?i ?(xi, xi+1 ) (h 0) 定积分定义 即 同理 收敛速度与误差估计 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ 例：计算 解： 其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 运算量基本相同 Q: 给定精度 ?，如何取 n ? 例如：要求 ，如何判断 n = ？ ? 上例中若要求 ，则 即：取 n = 409 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 上例中2k ? 409 ? k = 9 时，T512 = 3注意到区间再次对分时 可用来判断迭代 是否停止。 Q: 给定精度 ?，如何取 n ? 方法思路 : 复化求积方法可提高求积精度，实际计算 时可以将步长逐次分半。 在每个子区间[xk,xk+1]经过二分只增加了一 个分点xk+1/2=1/2(xk+xk+1),用复化梯形公式 求得该子区间上的积分