数值的分析6-数值积分.ppt

第二章 数值积分 高云 数值积分引言 数值积分的几何意义 数值求积的基本思想 数值求积的基本思想 求积公式的基本思想 一般求积公式 机械求积的问题描述 已知n+1个x以及在这些x上的函数值 求解此函数在某个区间的积分值 如何衡量这个公式的好坏？ 代数精度 举例（一） 矩形和梯形公式的代数精度 如何求解求积公式 插值型求积公式 插值型求积公式 插值型求积公式 结论 例题1 例题2 例题3 求积公式的设计 例题2 例题3 例题4 例题5 试设计求积公式 * * 计算定积分 微积分基本公式： (2) f (x) 表达式未知，只有通过测量或实验得来的数据表。 但是在许多实际计算问题中 (1) f (x) 表达式较复杂，原函数难求！甚至有时不能用初等函数表示。如 此时需要利用数值方法来近似计算定积分。 依据积分中值定理，对于连续函数 f（x），在［a，b］内存在一点ξ，成立 就是说，底为 b- a 而高为 f（ξ）的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积 I.问题在于点 ξ 的具体位置一般是不知道的，因而难以准确地算出 f（ξ）的值.我们称 f（ ξ）为区间［ a，b］上的平均高度.这样，只要对平均高度 f（ξ）提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法. 分别用 f (a)，f (b) 和 近似 f (?) 可得 左矩形公式 右矩形公式 中矩形公式 若用 f (a) 和 f (b) 的算术平均值近似 f (?)，则可得 梯形公式 若用 f (a) , f ([a+b]/2)和 f (b) 的加权平均值近似 f (?)， 则可得 辛甫生公式 更一般地，可以用 f (x) 在 [a, b] 上的一些离散点 上的值加权平均作为 f (?) 的近似值，从而构造出 求积节点 求积系数 机械求积法：求积系数仅仅与结点xk的选取有关，而不依赖于被积函数f(x)的具体形式 定义 如果对于所有次数不超过 m 的多项式 f (x) ，公式 精确成立，但对于某一次数为 m+1 的多项式不精确成立，则称该求积公式的代数精度为 m 次。 要验证一个求积公式具有 m 次代数精度，只需验证对 f (x)＝1, x, x2, … , xm 精确成立，但对 f (x)＝xm+1 不精确成立即可，即： ( k = 0, 1, … , m ) 已知：求积公式对于xk（k=0，1，…，m）均能准确成立 求证：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立 证明： 由已知条件知 （k=0，1，…，m） 证明两种说法的等价性 则 即：求积公式对于对于次数不超过m的多项式均能准确成立 例：试确定系数 ?i ，使得下面的求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此求积公式的代数精度。 解： 将 f (x)＝1, x, x2 代入求积公式，使其精确成立得 解得 ?0 =1/3, ?1 =4/3, ?2 =1/3，所以求积公式为 易验证该公式对 f (x)＝x3 也精确成立，但对f (x)＝x4 不精确成立，所以此求积公式具有 3 次代数精度。 容易验证： 左矩形公式 和 右矩形公式 具有 零次 代数精度 中矩形公式 和 梯形公式 具有 一次 代数精度 特别地，具有 m ( ?0 ) 次代数精度的求积公式满足： 辛甫生公式具有 三次 代数精度 我们可以用代数精度作为标准来构造求积公式. 譬如两点公式 式中含有两个待定参数 A0，A1， 令它对于 f（ x）=1，f（ x）= x 准确成立，有 解之得 A0=A1=（b-a）/2.这说明，形如（5）且具有一次代数精度的求积公式必为梯形公式（1）.这一论断从几何角度来看是十分明显的. 如何求解求积公式 如何求解求积公式 如果求积节点并没有确定，则待定参数有几个？ 有2n+2个 能够达到的代数精度是多少？ 2n+1个 此时的方程为非线性方程 思考题 基本思想 由已知的n+1个点以及在这n+1个点上的函数值，作拉格朗日插值，得到pn(x) 则 设 f (x) 在节点 上的函数值为 f (xi)，作 n 次拉格朗日插值多项式 于是有 其中 。 插值型求积公式 误差： 由于 n 次拉格朗日插值对 f (x)＝1, x, x2, … , xn 精确成立，所以 n 次插值型求积公式的代数精度至少为 n 次。 代数精度： 反之，如果求积公式 的代数精度至少为 n 次，则它必定是插值型的。 简证：求积公式对拉格朗日插值基函数 lk (x)