第二章 图像信号的分析及变换.ppt

第二章 图像分析与正交变换 中国矿业大学 信电学院 主要内容 2.1 图像信号的分析 2.2 离散傅立叶变换DFT 2.3 离散余弦变换DCT 2.4 图像的统计特性 图像信号的正交变换 主要有DFT、DCT、DWT 、 DHT等。 图像信号正交变换的优点： 图像数据量大，如果直接在空间域处理，则计算量大，且随着图像样点数目增加而计算量急剧增加，难以实时处理。 采用图像信号正交变换，将输入图像信号从空间域转换到频率域，可以把空间域中卷积或相关运算简化为频率域相乘处理，大大减少计算量，提高处理速度，可改变难以实时处理局面。 正交变换的性质 能量守恒性 能量集中性。空间域亮度均匀分布，频率大部分能量集中在低频系数上 去相关性。空间域相关像素，通过正交变换在频域大大降低变换系数之间相关性。 熵保持性。变换系数F(u,v)的熵值和原图像信号f(x,y)熵值相等。 学习要点： 二维采样定义；非均匀量化特点； 正交变换的性质； 图像的统计特性（空间域、频域、差值信号） 2.2.1 一维离散傅立叶变换 设对1个连续信号f(x)等间隔采样得1个离散序列，设共采了N个样，则这个离散序列可表示为{f(n)|n=0,1,…,N-1}，令x为离散实变量，u为离散频率变量，则其离散傅立叶变换对定义 式中x,u=0,1,…,N-1 通常傅立叶变换为复数形式，即 式子中R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部。 通常傅立叶变换也可为指数形式，即 其中： 通常称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，?(u)为f(x)的相位谱。 2.2.2 二维离散傅立叶变换 定义二维离散信号{f(x,y)|x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1}的离散傅立叶变换对为： 式中 x,u=0,1,…,M-1；y,v=0,1,…,N-1。 x, y为时域变量， u ,v为频域变量。 1. 二维DFT的定义 二维傅立叶变换的复数形式，即 式子中R(u,v)和I(u,v)分别为F(u,v)的实部和虚部。 二维傅立叶变换的傅立叶频谱，即 二维傅立叶变换的相位谱，即 2. 二维DFT的性质 ① 可分离性---二维离散傅立叶变换的实现： 即二维离散傅立叶变换正反变换运算可分别分解成两次一维离散傅立叶变换运算： 那么对于正变换式子可分成下面两个式子： 在上式中，每个式子都为一个一维离散傅立叶变换，所以二维离散傅立叶变换F(u,v)可由f(x,y)先按行进行一维离散傅立叶变换，再按列进行一维离散傅立叶变换得到。 用两次一维DFT计算二维DFT图示： ② 平移性质 表明只要将f(x,y)乘以因子 ，再进行离散傅立叶变换，则可将图像的频谱原点(0,0)移动到图像中心(M/2,N/2)处。 ③ 旋转不变性 表明如果时域中离散函数旋转??角度，则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样角度。 下面为傅立叶频谱旋转不变性示意图 (a)图表示原图像； (b)图表示原图像傅立叶频谱； (c)图表示旋转45度角后图像； (d)图表示旋转后图像傅立叶频谱 ④ 线性 ⑤ 共轭对称性 是 Fourier变换的共轭函数，则 ⑥ 缩放性 说明函数在空间比例尺度上的展宽相当在频域比例尺度上的压缩，且幅值减少为原来的1/|ab| ⑦ 卷积定理 DFT频谱图分析：傅立叶变换后的图像,中间部分为低频部分－频谱能量集中部分,越靠外边频率越高。 二维DFT频谱图 3. 快速Fourier变换(FFT) DFT的计算量大，运算时间长，所以提出FFT，不是一种新的变换，只是DFT的一种算法。 原理：W因子的周期性，DFT中的乘法运算中有许多重复内容。 将原函数分为奇、偶项，通过不断的一个奇数一个偶数的相加（减），最终得到需要的结果。 二维FFT 由可分性知：2维DFT可看成是两次的1维DFT变换，即： 所以，可以分别对图像的每一列进行FFT，然后再对每一行进行FFT。 例：已知图像为 求2维FFT变换F(u,v) 列变换 经过列变换后为： 行变换 DFT在图像处理中的应用 DFT在图像滤波中的应用 DFT变换后的图像，中间为低频部分，越靠外频率越高，因此，可选择所需的高频或低频滤波。 DFT在图像压缩中的应用 变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。 考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。 DFT在卷积中的应用 2.3 离散余弦变换DCT 问题的提出： Fourier变换的一个最大的问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又