材料力学第8节.ppt

第8章 应力状态理论和强度理论 8.1 一点应力状态的概念 一、一点的应力状态 1、一点的应力状态 所谓一点的应力状态，就是受力构件内的 通过任一点各个不同方位截面上的应力情况。 研究一点的应力状态称为应力分析。 其目的是为了判断受力构件在什么地方、什么方向最危险，为分析构件的强度提供基础。 2、原始单元体 主单元体 为了研究一点的应力状态，首先是围绕该点取出一个无穷小的正六面体，称为单元体。 从受力构件内一点处取出的单元体，若各个面上的应力均为已知，则该单元体称为原始单元体。 如图a所示　　的单元体其左右面的应力已知为　　 ，没有剪应力，其余面上应力均为零，所以它是通过点A的原始单元体. 在图b中绕点A的　　的单元体也是原始单元体。 一般来说，原始单元体上各面上有三个应力:一个是正应力，其他两个是剪应力。在该点处以不同方位截取的诸单元体中，一定可以找到一个在各面上只有正应力，而没有剪应力的单元体，这样的单元体称为主单元体。 主单元体各面上的正应力称为主应力，而主应力所在的面成为主平面。 也可以这样定义：剪应力等于零的面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 二、应力状态分类 一点处的主单元体的六个面上，有三对主应力，常用 表示，并以其代数值的大小按 的顺序排列。 按照不等于 零的主应力数目， 把应力状态分为 三类。 1.单向应力状态 受力构件一点处只有一个主应力不为零的应力状态. ２.二向应力状态 受力构件一点处有两个主应力不为零的应力状态 . ３.三向应力状态 受力构件一点处有三个主应力不为零的应力状态 。 2、三向应力状态 在滚珠轴承中滚珠和外圈接触点处的应力状态就是三向应力状态。 一、任意斜截面上的应力 根据此截出的三棱体的平衡，写出沿法线n和切线t方向的力平衡方程式，为 例2 如图，一处于横力弯曲下的梁，其截面mn上的弯矩为M，剪力为Q，可求得截面上一点A处的　和　分别为　　　　　　　　 试确定A点的主应力及主平面的方位，并讨论同一截面上其他点的应力状态。 解：A点处截取的单元体放大后如图c所示，由 选定x的方向垂直向上。 得 从x轴量起，由　　　（逆时针）所确定的主平面上的主应力为　 而由　　　 所确定的主平面上的主应力为　 ，可得最大，最小正应力如下： 故主应力为　　　　，　　　 ，　　　 例3 图示简支梁为36a工字梁， , A点所在截面在集中力P的左侧，且无限接近P力作用的截面。试求：①A点在指定斜截面上的应力；②A点的主应力及主平面位置（用单元体表示）。 则： 主应力计算： 8.3 二向应力状态分析的图解法 一、应力圆及其做法 1.应力圆方程 由　　　 2、应力圆的作法 3.证明 此圆的圆心在σ轴上， 而它的圆心C到坐标 原点O的距离为 （b） 半径为 （c） 满足（a）式。 二、应力圆的应用 １. 用应力圆确定单元体任意斜截面上的正应力和剪应力 在上例 图a中，设由x轴 到任意斜截面法线n的夹角 为反时针的α角. 其结果与按公式计算结果完全相同。 例4 在图示的单元体中，已知　　　　、 　　　　　、　　　　、　　　　，试用应力圆求主应力，并确定主平面位置。 解： 例6:在通过一点的两个平面上，应力如图所示，单位为兆帕。试求主应力的数值及主平面位置，并用单元体的草图表示出来。 联立求解，得到 则： 则 可见，三向应力状态下，最大和最小正应力分别为最大和最小主应力，即 （9-10） （9-11） 而最大剪应力则为 （9-12） 并位于与 构成45°的截面内。 例7 某点处于三向应力状态，其单元体如图。求其主应力和最大剪应力。 解：对图示处于三向应力状态下的单元体，已知一个主平面及该面上的主应力（60MPa） 另外两个主应力可按与二向应力状态相似的方法求得。 由于已知的主应力为60MPa