特征值与特征向量的性质设a是n阶矩阵.ppt

例4　设三阶实对称矩阵A的特征值为 (二重),A的对应于 的特征向量为 ,求A. 解 因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q,使 设对应于A的二重特征值 的线性无关的特征 向量为 . 则 和 都与 正交. 设与 正交的向量为 ,则 =(0,1,1) 解此方程组得基础解系 显然 与 正交，故只需将 单位化： β1= , β2= , β3= 构造矩阵 Q=(β1,β2,β3)= , Λ= = = . 例5设A,B是n阶实对称矩阵,证明：存在正交矩阵Q, 使 的充分必要条件是A,B有相同的特征值. 证明　必要性 因为有正交矩阵Q, 使 , 所以 A~B, 故A与B具有相同的特征值. 充分性　设矩阵A,B的特征值均为 ， 因为A,B为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 ， 使得 所以 , 于是 . 令 ,则Q仍为正交矩阵，且 习题五 12，13 本章基本要求：1.会求矩阵的特征值与特征向量. 2.会将矩阵A对角化（求一可逆矩阵P,使P AP= ) 3.会将一个线性无关向量组通过史密特正交化，得到一个正交向量组. 4.会将R 中的一组基通过史密特正交化，然后标准 化，得到R 的一组标准正交基. 5.对于一个实对称矩阵A,会求一个正交矩阵Q,使A对角化. -1 n ^ n 例1　将矩阵A= 解　A的特征方程为 故得A的特征值为λ1=-1,λ2=λ3=2. 对角化. |λE-A|=0 即 当λ1=-1时，解线性方程组(-E-A)X=0, 得基础解系α1=(1,0,1)T. 当λ2=λ3=2时，解线性方程组(2E-A)X=0,即 得基础解系α2=(1,0,4)T, =(1,4,0)T, ＝ ＝ 即 例2　已知A= 与B = (1) 求x和y; (2) 求一个可逆矩阵P,使P-1AP=B. 相似. 解 （1）　由于A~B, 故 |A|=|B|,trA=trB， 即有 -2=-2y, 2+x=1+y, 解得 x=0,y=1. 可分别求得A的对应于特征值2,1,-1的特征向量 , α2= , α3= . 于是，可逆矩阵 P=(α1,α2,α3)= ,可使P-1AP=B. = (2) 由于A~B,故A与B有相同的特征值2,1,-1. 解齐次线性方程组(λE-A)X=0, 例3　已知A= 解　A的特征多项式 = = =(λ-1)(λ+1)2, 可对角化，求k. |λE-A|= * 习题五 5，8， 第三节　实对称矩阵的特征值和特征向量 在中学的平面解析几何中，我们把两个向量 的长度与它们夹角的余弦之积叫做向量 与 的内积： 一、向量的内积(数量积） 我们可以把二维向量的内积推广到n维向量，定义n维向量的内积、长度和夹角. 定义3 设 为Rn中的两个向量，称 为向量α与β的内积，记作[α,β] ，或 显然 即 注意: 若 则 容易证明内积满足下列性质： 定义4　 向量的长度具有下述性质： 设 为向量α的长度（也称范数或模），记作‖α‖, 即 这一过程叫做向量的单位化或标准化. (1) 非负性‖α‖≥0; (2) 齐次性‖kα‖=|k|·‖α‖; (3) 三角不等式‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖. 当‖α‖=1时，称α为单位向量或标准向量. 任一非零向量除以它的长度后就成了单位向量. 设α,β为Rn中的两个非零向量,则称 为向量α与β的夹角. 定义5 定义6 设α,β为Rn中的向量，若[α,β]=0，则称向 α与β正交（或垂直），记作α⊥β. 显然，零向量与任何向量都正交. 若不含零向量的向量组（即该向量组中的向量 定义7 都不是零向量）中任意两个向量都正交，则称此向量 组为正交向量组。 则称此向量组为单位正交向量组或标准正交向量组. 若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量， 因此 是一个线性无关的向量组. 定理3　正交向量组必是线性无关的向量组. 证明　设n维向量