常微分方程教学大纲(数学与应用数学专业).docVIP

云南师大数学学院 数学与应用数学专业 课程教学大纲 [课程名称] 常微分方程 （Ordinary Differential Equation） 课程内容 课时 备注（教学形式） 1 绪 论 2 课堂讲授（可结合多媒体教学） 2 一阶微分方程的初等解法 12 课堂讲授（可结合多媒体教学） 3 一阶微分方程的解的存在定理 5 课堂讲授 2 期中考试 4 高阶微分方程 13 课堂讲授（可结合多媒体教学） 5 线性微分方程组 14 课堂讲授（可结合多媒体教学） 6 非线性微分方程和稳定性 3 课堂讲授 合? 计 51 [教学内容要点] 绪 论 一、学习目的要求 初步了解常微分方程的物理背景和其它实际背景，掌握方程建立的基本步骤和基本概念；了解常微分方程课程要讨论的基本问题和任务。 二、主要教学内容 1. 微分方程：某些物理过程的数学模型 2. 基本概念 三、课堂讨论选题 无 四、课外作业选题 1．习题1.2 ： 1—9题 2．习题2.5 ： 33题 一阶微分方程的初等解法 一、学习目的要求 掌握一阶微分方程的初等积分法，熟练掌握：分离变量法、常数变易法和积分因子法；掌握特殊的一阶隐式方程的解法；会用已有知识建立常微分方程模型，并利用数学软件解决一些简单的问题。 二、主要教学内容 1.变量分离方程与变量变换 2.线性方程与常数变易法 3.恰当方程与积分因子 4.一阶隐方程与参数表示 三、课堂讨论选题 各种初等积分法之间的联系和区别是什么？ 四、课外作业选题 1．习题2.1: 1—19，21，22题 2. 习题2.2: 1—20题，22题 3.习题2.3: 1—25题 4.习题2.4: 1—6题 5.习题2.5: 1—32,34，35，36题 6.习题3.4:（一）—（四）题 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 一、学习目的要求 熟练掌握毕卡逐次逼近法及其运用，理解一阶初值问题解的存在定理中解的存在区间的意义，理解延拓定理的含义；掌握贝尔曼不等式及其简单应用，理解解对初值的连续依赖性和可微性定理的含义，了解奇解的定义。 二、主要教学内容 1. 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 2. 解的延拓 3. 解对初值的连续性和可微性定理 4．奇解 三、课堂讨论选题 一阶方程存在唯一性定理的实用价值是什么？ 四、课外作业选题 1．习题3.1：1—10题 2．习题3.3：1，2，3题 第四章 高阶微分方程 一、学习目的要求 熟练掌握线性方程的解的叠加原理，线性相关、无关、朗斯基行列式、刘维尔公式的概念及其相互关系定理；熟练掌握线性方程的通解结构定理；重点掌握常系数齐线性方程的欧拉待定指数法（特征根法）以及常系数非齐线性方程的比较系数法；掌握几类高阶方程的降阶法；了解二阶齐线性方程的幂级数解法。 二、主要教学内容 1. 线性微分方程的一般理论 2．常系数线性方程的解法 3．高阶方程的降阶和幂级数解法 三、课堂讨论选题 线性方程的实际运用举例----弹簧振动问题及其在计算机上的实现问题。 四、课外作业选题 1．习题4.1：1—9题 2．习题4.2：2—26题 3．习题4.3：1—9，12—15题 线性微分方程组 一、学习目的要求 掌握线性方程组初值问题解的存在唯一性定理，熟练掌握解的叠加原理，线性相关、线性无关、朗斯基行列式等概念及其关系定理；掌握线性方程组通解结构定理；重点掌握常系数线性方程组的解法；掌握高阶线性方程的初值问题与一阶线性方程组的初值问题的互化。会将线性方程组的有关结果推到高阶线性方程上去；掌握常系数微分方程组的消元法和首次积分法。 二、主要教学内容 1.存在唯一性定理 2.线性微分方程组的一般理论 3.常系数线性方程组 三、课堂讨论选题 基解矩阵的具体寻求方法是什么？ 四、课外作业选题 1．习题5.1：1，2，3题 2．习题5.2：1—9题 3. 习题5.3: 1—8，11题 4．习题7：（一）题 非线性微分方程和稳定性 一、学习目的要求 了解微分方程定性和稳定性的基本概念；掌握二维常数齐线性系统的初等奇点的类型；了解李雅普诺夫关于稳定、渐近稳定和不稳定的基本定理。 二、主要教学内容 1. 引言 2. 相平面 3. 按线性近似决定微分方程组的稳定性 4. 李雅普诺夫第二方法 5．周期解和极限圈 三、课堂讨论选题 无 四、课外作业选题 1．习题6.1: 1题 2. 习题6.2: 1，2题 3. 习题6.3: 1题 【成绩考核方式】 1、成绩评定总则 以百分制计算总评成绩，其中平时成绩占30%，期末考试成绩占70%，总成绩满分100分，60分即获得该课程学分（3学分）。 2、平时成绩评定 平时成绩主要包括四个部分：出勤率（10%），作业（40%），期