节函数的奇偶性与周期性(高考总复习).docVIP

第四节　函数的奇偶性与周期性 时间：45分钟　分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2013·北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x| 解析　y＝是奇函数，选项A错；y＝e－x是指数函数，非奇非偶，选项B错；y＝lg|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D错；只有选项C是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减． 答案　C 2．(2013·湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析　由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3，故选B. 答案　B 3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于(　　) A．－2 B．2 C．－98 D．98 解析　f(x＋4)＝f(x)，f(x)是周期为4的函数． f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．又f(x)在R上是奇函数， f(－x)＝－f(x)．f(－1)＝－f(1)．而当x(0,2)时，f(x)＝2x2，f(1)＝2×12＝2.f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A. 答案　A 4．(2013·湖北卷)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 解析　当x[0,1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D. 答案　D 5．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A. B. C. D．1 解析　f(x)＝是奇函数， f(－1)＝－f(1)． ＝－. a＋1＝3(1－a)，解得a＝. 答案　A 6．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)0的解集是(　　) A．{x|－3x0，或x3} B．{x|x－3，或0x3} C．{x|x－3，或x3} D．{x|－3x0，或0x3} 解析　由x·f(x)0，得或 而f(－3)＝0，f(3)＝0， 即或 所以x·f(x)0的解集是{x|－3x0， 或0x3}． 答案　D 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2014·东城区期末)若函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x，则f(－2)的值为________． 解析　f(－2)＝－f(2)＝－(4＋2)＝－6. 答案　－6 8．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(xR)是偶函数，则实数a的值为________． 解析　因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1. 答案　－1 9．(2013·安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________. 解析　当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－. 答案　－ 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)． (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性． 解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数． 当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)， 取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0； f(－1)－f(1)＝－2a≠0， f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)． 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1， 这时f(x)＝x2＋. 任取x1，x2[2，＋∞)，且x1x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1＋x2)(x1－x2)＋ ＝(x1－x2). 由于x1≥2，x2≥2，且x1x2， x1－x20，x1＋x2， 所以f(x1)f(x2)． 故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数． 11．(2014·曲阜师大附中质检)定义域为[－1,1]的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x－2)，且当x(0,1)时，f(x)＝2x＋. (1)求f(x)在[－1,1]上的解析式； (2)求函数f(x)的值域． 解　(1)当x＝0时，f(0)＝－f(0)，故f(