DVD在线租赁的数学模型6368595.doc

DVD在线租赁的数学模型 摘要 随着网络时代的来临，各种快捷方便的网络服务出现在了人们的眼前。DVD的在线租赁也逐渐成为人们追求便捷服务的热点。 本文主要采用层次分析法、0-1整数规划和多目标规划模型解决了在获得会员的最大满意程度下如何合理分配现有DVD数目和采购DVD的数量，实现DVD租赁网站的‘市场效应’，‘经济效应’，以及会员的‘满意度效应’，提高DVD的使用率。 我们采用层层递进式的模型，逐步优化要解决的四个问题，提出一系列的解决方案。针对问题一，我们使用经验函数解决了样本个数不足的缺陷，大致的估计出总体的分布，有效地解决了在总体分布未知的情况下，用样本估计总体的困难。考虑到实际情况，即每个会员的基本权利是相等，得到DVD机会均等。为此，我们以权重比构成分配比，解决分配问题。通过建立方程组最后得出了五种DVD应准备数量；对于问题二，我们根据数据特点初步构造出了多个满意度系数表达式，并通过比较得出了比较满意的满意度表达式，有效地减少了excel的操作，这也是本文的一大亮点，然后通过建立0-1整数规划模型，基于lingo的编程求解得出了各会员的DVD分配方法，有效的解决了问题；至于问题三，我们采用多目标规划模型，用lingo编程，得到了全局最优解，即DVD数目为2850，但分配方式不唯一，通过统计处理得到了最优的各种DVD的购买量；最后，问题四，我们建立了灰色关联预测模型来实现对DVD的需求预测并对网站经营管理人员提出了建VIP等级制度的建议。 关键词：满意度 合理分配 层次分析法 规划模型 问题重述 基于的背景： 会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。 要解决的问题是： (1)网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？ (2)针对表2中列出的网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。 (3)继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？ (4)如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。 对于本文的四个问题，我们逐个建立模型求解 模型的假设 (1)不计DVD碟由于损坏而不能租赁的情况。 (2)不考虑租碟或还碟过程中出现的特殊情况。如租两次碟的人在一个月的最后一天还第一次租的碟，又进行第二次租碟等情况。 (3)当会员得到他最喜欢的DVD时，满意度系数最大。 1.问题一 1.1 问题分析 问一进行了1000个会员的观看意愿问卷调查，并将其中五种DVD的调查结果以表格形式给出，并且提供了租两次碟和租一次碟的人数比率。我们要用这些统计量去估计总体（10万会员）关于这五种DVD人数分布。由于样本个数的不足，我们采用了经验函数。其表示如下： 设总体X的分布函数未知，为总体X的一个样本观察值，将它们按大小排列为，令 称为的经验分布函数。 对任意的实数，就是事件出现的频率，而该事件出现的概率就是总体的分布函数，由频率和概率的关系知，可以作为未知分布函数的一个近似，且当越大时，这种近似的精确程度越高。根据租两次碟和租一次碟的人数比率，我们构成一个一致性成对比较矩阵，用来解决合理分配的问题。 1.2 符号说明 （1）分别表示租一次碟，租两次碟的人数百分率，显然有。 （2）分别表示第一到第五种碟的数量。 （3）依次表示样本表一中愿意观看这五种DVD的人数，顺序表示总体中希望看到这五种DVD的人数。表示样本容量，表示总体容量。 （4） 表示第个月，需要准备的第种DVD张数。 1.3 模型建立 问一中有两小问，下面将其模型依次表述如下： 第一小问 依据经验函数，易得出 运用层次分析法，将租