数值分析实习迭代法的比较.doc

目录 原理比较 Matlab验证 运行结果 实验结果与收敛速度的比较 Jaccobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的比较 我们在解线性方程组的时候，经常要用到Jaccobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法，研究两种有着类似原理的迭代法发现，两者具有不同的收敛速度，现在让我们来仔细研究这两种算法的matlab实现和收敛速度。 原理比较 雅克比迭代法 将线性方程组订的系数矩阵分成A=D—L—U，对于Ax=b的雅克比迭代法为，。雅克比迭代的计算公式是 高斯赛德尔迭代法 选取分列矩阵M为A的下三角部分，所以高斯赛德尔迭代法，计算公式为 原理比较：雅克比迭代法不使用变量的最新信息计算，而由高斯赛德尔迭代公式可知，计算的第i个分量时，利用计算出的最新分量，另外，有雅克比计算过程可知，原始矩阵A始终不变，每迭代一次只需要计算一次矩阵和向量的乘法，而高斯赛德尔迭代只需要计算一次矩阵与向量的乘法。，所以，高斯赛德尔迭代法可以看做雅克比迭代的一种改进。 Matlab验证 雅克比迭代源代码 clear; close all; N=input(请输入增广矩阵\n); c=input(请输入迭代次数\n); a=rank(N); for u=1:a x(1,u)=0; y(1,u)=0; end; sum=0; for k=1:c for i = 1:a for j = 1:a sum = N(i,j)*y(1,j)+sum; end; x(1,i)=(N(i,a+1)-sum+N(i,i)*y(1,i))/N(i,i); sum=0; end; for j =1:a y(1,j)=x(1,j); end; end; for u=1:a fprintf(X%d=%f\n,u,x(1,u)); end; 高斯赛德尔迭代法 clear; close all; N=input(请输入增广矩阵\n); c=input(\n); a=rank(N); for u=1:a x(1,u)=0; end; sum=0; for k=1:c for i = 1:a for j = 1:a sum = N(i,j)*x(1,j)+sum; end; x(1,i)=(N(i,a+1)-sum+N(i,i)*x(1,i))/N(i,i); sum=0; end; end; for u=1:a fprintf(X%d=%f\n,u,x(1,u)); end; 三．运行截图 雅克比迭代运行截图 高斯赛德尔运行截图 五．实验结果与收敛速度的比较 由以上的算法运行结果以及上机课中其他的实例计算来看，高斯赛德尔迭代法的收敛速度比雅克比迭代法更快。通过查阅数值分析教材，若矩阵为对角占优矩阵或者不可约弱对角占优矩阵，两种方法均收敛，在一般情况下，雅克比跌打法是高斯赛德尔迭代法的充分条件，在雅克比迭代法发散时使用高斯赛德尔迭代法可能收敛。 故高斯赛德尔迭代法比雅克比迭代法更加优良。