五年级奥数教程与训练01不定方程.doc

五年级奥数教程与训练 第一讲 不定方程 【知识要点与基本方法】 方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组），它的解是不定的，一般地说，如果没有给不定方程某种制约的条件，那么它就有无限多个解，本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况局限在一定的范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。 【例题解析】 例1.求下列方程的整数解（x0,y0） （1）5x+10y=14 (2) 11x+3y==89 解：（1）因为5与10有公因数5，而14无因数5，所以原方程无整数解。 （2）原方程整理得： y=（89-11x）÷3 因为x和y都是大于零的整数，11x89,所以x9,由上式得： x=1,y=26,或者x=4,y=15,或者x=7,y=4 例2．邮局买了助动车和自行车若干辆，共付出11700元，已知每辆助动车2500元，每辆自行车350元，问：邮局买这两种车各多少辆？ 解：设买了x辆助动车，y辆自行车。由题意得： 2500x+350y=11700 y=（11700-2500x）÷350 解得 x=3,y=12 答：邮局买了3辆助动车和12辆自行车。 例3. 有一根长5.8米的木料，现在要把它分割成每根长0.9米和0.4米的两种规格，恰好没有剩余的所有分割法（损耗不计）。 解析：设一根木料可分割0.9米长的x段，0.4米长的y段，由题意得： 0.9x+0.4y=5.8 y=(5.8-0.9x) ÷0.4 解得：x=2,y=10 或者 x=6,y=1 答:可分割成0.9米长的2段,0.4米长的10段,或0.9米长的6段,0.4米长的1段. 例4．一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一,二,三等奖的学生各几人? 解:设获一、二、三等奖的人数分别为x,y,z,根据题意有: 6x+3y+2z=22 (1 ) 9x+4y+z=22 (2 ) 2×(2 ) 得 18x+8y+2z=44 (3 ) (3 )-（1）得 12x+5y=22 (4 ) 解（4）求得整数解为 x=1, y=2 代入（2）可求得z=5. 答：获一等奖1人，获二等奖2人，获三等奖5人. 例5. 某单位职工到郊外植树，其中1/3的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵，他们各种了216棵树，那么其中有女职工多少人？ 解 ： 设有女职工x人，男职工y人，那么有孩子（x+y）÷3人。这个条件说明3|（x+y） 由已知 10x+13y+(x+y)÷3×6=216 即 4x+5y=72 y=(72-4x) ÷5 只有当4x的个位为2时,有整数解 x=3,y=12 或者 x=8,y=8 或者 x=13,y=4 只有3/（3+12）,所以，y=12,x=3.即有女职工3人。 例6.abc是报一个三位数，由a，b，c三个数码组成的另外五个三位数之和等于2743.那么，三位数abc是多少？ 解：这六个三位数的和为222（a+b+c），则有： 2743222( a+b+c）3743 即12 a+b+c17, a+b+c取值只能是：13，14，15，16 当a+b+c=13时，222×13=2886，2886-2743=143，1+4+3≠13，舍去。 经过检验：只有当a+b+c1=14时成立：222×14=3108， 3108-2743=365，而3+6+5=14，符合题意。 答：这个数是365. 例7.有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都在10以内，把三张牌洗完后，分别发给甲，乙，丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌，发牌，记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13，15，23.问：这三张牌的数字是多少？ 解：设三张牌按照从大到小排列为x，y，z，再设共发了n轮（每轮发三张），x+y+z=S则有：n×S=13+15+23=51=3×17 只有n=3，S=17. x+y+z=17，则x17/3,所以x可取的值为6，7，8，9. 当x=6时，y+z=11，而y+z最多只能是9，所以不符合题意。 当x=7时，y+z=10，而只有y=6，z=4，但是丙三次牌数字之和是23，而23显然不可能表示为（7，6，4）中任意三个数之和。故也不符合题意。 当x=8时，y+z=9，（y，z）可能情况有（7，2）、（6，3）、（5，4）,而13（甲的三次牌数字和）不能表示为（8，7，2）中任意三个