不等式的经典公式和经典例题讲解.doc

不等式的证明规律及重要公式总结 重要公式 1、（可直接用） 2、（要会证明） 3、即可） 4、，； 5、， 证明方法 方法一：作差比较法： 已知：，求证：。 证：左－右= 方法二：作上比较法，设a、b、c，且，求证： 证： 当ab0时 当0ab时 ∴ 不论ab还是ab，，同理可证，，，…… 方法三：公式法：设a0,b0，且a+b=1，求证： ① ② 证①由公式：得： 证②由 ∴ 左 （*） ∵ ∴ (*) 方法四：放缩法： ∵ n1， ∴ ∴ 只要证： 即可 左 方法五：分析法：设a1，a2，b1，b2，求证：(自证) 方法六：归纳猜想、数学归纳法：设，求证：（自证） 高考数学百大经典例题——不等式性质 概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或； 4．若，，则；若，，则。如 （1）对于实数中，给出下列命题： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧，则。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知，，则的取值范围是______ （答：）； （3）已知，且则的取值范围是______ （答：） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设，比较的大小 （答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））； （2）设，，，试比较的大小 （答：）； （3）比较1+与的大小 （答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如 （1）下列命题中正确的是 A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、的最小值是 （答：C）； （2）若，则的最小值是______ （答：）； （3）正数满足，则的最小值为______ （答：）； 4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。如 如果正数、满足，则的取值范围是_________ （答：） 五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。). 常用的放缩技巧有： 如（1）已知，求证： ； (2) 已知，求证：； （3）已知，且，求证：； (4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：； （5）已知，求证：； (6)若，求证：； (7)已知，求证：； （8）求证：。 六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如 （1）解不等式。 （答：或）； （2）不等式的解集是____ （答：或）； （3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为______ （答：）； （4）要使满足关于的不等式（解集非空）的每一个的值至少满足不等式中的一个，则实数的取值范围是______. （答：） 七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如 （1）解不等式 （答：）； （2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________ （答：）. 八．绝对值不等式