2012中山大学法学院期末试题-答案.docx

中山大学法学院2012年秋季学期期末试题博弈论任课教师丁建峰考试时间120分钟试卷说明本试卷分为A组题和B组题，每组题的满分均为100分（包括基础题30分，选做题70分），请您任选一组题作答即可，在回答总分为70分的“选做题”时，请不要从A组和B组当中混杂挑选，这样会给评分带来实质上的困难，如发现此种情况，则只能按照您选作的两组题目中的低分组给分。在答卷的第一行，请用清楚的大字写明您选择的是A组题还是B组题。另外，答卷中要写清楚题号。基础题（总分30分，A组题与B组题共用）1.找出下列博弈的纯策略纳什均衡（10分）找出它的混合策略纳什均衡（8分）计算在混合策略纳什均衡下面A和B各自的预期支付（4分）。纯策略均衡为（D,L），（M,R）。每找对1个5分。混合策略纳什均衡为（（M，D；0.2,0.8），（L，R；0.5,0.5））（每个概率算2分）预期支付，参与人A得3，参与人B得7.4（每问2分）2.找出下列博弈的子博弈完美纳什均衡的均衡路径（8分）。这个博弈中，最上层的丙不可能选Q，必然选P。乙选X，Y无差异。中层以乙的决策开始的子博弈中，乙选择X。由此可知，甲选择D在收益上占优于选择U和M，因此甲直接选D。（此题是蜈蚣博弈的一个变形）。此题不分点给分，凡做错的一律扣去8分。因为此题若分点，则评分过于繁琐。A组题（70分，计算与证明）A3（15分）.考虑以下的阶段博弈重复无穷多次的情形（其中Ｃ代表合作，Ｄ表示背叛，且a＞0）。B C D(2, 2)(0, 2+a)(2+a, 0)(1, 1)A(1)若(C,C)要作为子博弈完美均衡成立，假如A，B两人均采用冷酷策略作为保持合作的手段，求A，B两人的贴现因子的取值范围。(7分)(2)现在A，B两人都采用有限阶段惩罚策略，且惩罚次数为2次。即，若发现对方背叛合作，另一方连续惩罚对方两次（即在观察到对方背叛后，连续两次选择“背叛”，然后继续转为合作）。问当a的取值范围为多少时，有限阶段惩罚不可能引导出无穷期重复博弈中的（C，C）均衡？（8分）【解】（1）令2+2δ/(1-δ)＞2+a+δ/(1-δ)，解这个不等式，得到δ＞a/(a+1)，亦即1≥δ＞a/(a+1)，由于该博弈为对称博弈，因此两人的贴现因子取值范围相同。（2）A，B两人采用有限阶段惩罚，因此，受到惩罚时，背叛者的收益为组合（C，D），（D，D），（D，D）的收益。而一直合作的收益为（C，C）（C，C）（C，C）的收益。由于我们要计算有限惩罚不成功时a的取值范围，因此令背叛者的收益大于合作者的收益。即：2+a+δ+δ2＞2+2δ+2δ2；这个不等式恒定成立的条件是a＞δ+δ2由于δ+δ2在[0,1]区间上的最大值为2，亦即a＞2时，这个不等式恒成立。解法2：解不等式δ2+δ-a＞0，解得δ＞，又因为δ≤1，因此若=1，即找不到使合作成为可能的δ。解得a的阈值为2。A4（10分）.假设在某个有100人的小城要建一个开放式公园。需要大家来捐钱，要求每位热心市民捐100元（即，市民要么捐100元，要么不捐）。凑的钱越多盖的公园越舒适美观，每位市民的享受也就越多。但是有些人偏偏就不捐，而且不捐的人也可以到公园游玩，享受公园带来的好处。假设100人当中有n个人捐了钱，那么，每位市民不管捐没捐钱，各自从公园中得到的利益均为n2（以金钱为单位衡量）。（1）如果只有10个人捐款，那么，如果一个市民仅仅考虑自己的利益，他会不会捐款？（5分）（2）假如你是市长，想要每个人都捐钱，你可以游说某些人说服他们捐款。请问：你至少要说服多少人捐献，才能让其他所有人都自愿捐献？（5分）解：（1）若只有10人捐款，那么捐款的预期收益为11*11-100=21，而不捐的预期收益为100。因此最优选择为“不捐”。【注】题目中的“只有10人捐款”，有人计算为10*10-100=0。这个计算是错误的，不能得分。因为此时10人之中，必不包括该市民。因为捐款者如果包括该市民的话，那么该市民已经捐款，无须考虑“捐还是不捐”的问题，而且，一旦该市民决定不捐，难道还要从10人之中剔除掉他吗？因此，“只有10人捐款”的正确理解为“在该市民决策时，只有10个其他市民捐款”，而该市民决策后是“不捐”，因此他也不可能增加捐款人的数量。（2）设有x人捐款，则代表性市民捐款的预期收益为（x+1）2-100,不捐款的预期收益为x2，令（x+1）2-100＞x2，解得x＞49.5。亦即只有说服至少50人捐款，其他人才会自愿捐献。A5（10分）.有个小国有三个政党，它们的“代号”分别是毛虫党、黄雀党和绿叶党，毛虫党独立参选可以获得50个议席；黄雀党独立参选可以获得80个议席；绿叶党独立参选可以获得100个议席。如果毛虫