01高中数学联赛初赛训练试题一.doc

高中数学赛训练试题一 （20年月2日）一、题：1．已知函数是上的奇函数，是上的偶函数，若，则2．有四个函数： ① ②； ③； ④ ． 其中在上为单调增函数的是 3．方程的解集为其中为无理数，，为实数则中所有元素的平方和等于 4．已知点满足，则点所在区域的面积为 5．将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子每次要把10个球装完，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 6．已知数列为等差数列，且，，则等于 7．若曲线与直线有两个交点，则 8．过正方体的对角线的截面面积为，和分别为的最大值和最小值，则的值为 9．设，则、、的大小关系为 10．如果一元二次方程中，、分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率 11．设是椭圆上异于长轴端点的任意一点，、分别是其左、右焦点，为中心，则 12．已知中，，试用、的运算式子表示的面积，即 13．从3名男生和名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为，则 14．有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为 二、解答题 15．对于函数若则称为的不动点若，则称为的稳定点，函数的不动点和稳定点的集合分别记为和，即； （1）求证：若，且，求实数的取值范围16．某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产一件上衣及一条裤子为一套，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？ A B C D 上衣（件） 8 9 7 6 裤子（条） 10 12 11 7 17．设数列满足条件：，且求证：对于任何正整数，都有． 18．在周长为定值的中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值为 （1）建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程过点作直线与中的曲线交于、两点，求的最小值的集合19．已知三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，是底面内的任一点，与三侧面所成的角分别为、、求证：高中数学赛训练试题一、填空题：； 2．②和④； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．1． 二、解答题： 15证明若A=，则AB显然成立； 若A≠，设t∈A，则f(t)=tf(f(t))=f(t)=t，即t∈B从而AB解A中元素是方程f(x)=x即的实根由A≠，知a=0 或即B中元素是方程即的实根由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为 因此，要，即要方程 ①要么没有实根，要么实根是方程 ② 的根若①没有实根，则，由此解得若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有，代入①有2ax+1=0由此解得再代入②得由此解得故a的取值范围是16．解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：，且 ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子D组做7天上衣，C组做7天裤子则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y件；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y)条依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即令μ= 42+8x+9y=42+8x+9()=123+因为0≤x≤7所以，当x=7时，此时y=3μ取得最大值，即μmax=125安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套17．证明：令则有，且于是 由算术-几何平均值不等式，可得； 注意到，可知，即18．解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 CA+CB=2aa3）为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=AB=6；因为 又，所以，由题意得；此时，PA=PB，P点坐标为 P(0，±4)所以C点的轨迹方程为． （2）不妨设A点坐标为A(，0)，M(x1y1)，N(x2，y2)； 当直线MN的倾斜角不为时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简得； 显然有△≥0，所以而由椭圆第二定义可得 只要考虑的最小值，即考虑取最小值，显然当k=0时，取最小值16当直线MN的倾斜角为时，x1=x2=得； 但，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集19．证明：由题意可得，且α、β、所以； 因为，所以当时，当时，，同样有故另一方面，不妨设，则令， 则； 因为，所以所以 所以如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使增大所以，当α=β==时，α+β+取最大值. 综上可知． 及时消化 完善思维