关于odaka方程的求解问题-东南大学学报.pdf

第28 卷第3 期 东 南 大 学 学 报 Vol28 No3 1998 年5 月 JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY May 1998 Odaka 唐人卫 ( 东南大学交通学院, 南京21009 ) Odaka 方程是透视投影的基本方程, 是Kruppa 定理的解析 达式, 它反映了三 点透视投影中各参数之间的定量关系, 在基础理论和实际应用方面都有重要意义. 本文 分析了该方程的给题条件, 从数解和图解两种途径, 阐述了方程的求解方法, 主要解法 包括几何迭代法和数学迭代法, 这将为Odaka 方程的进一步应用奠定基础. 透视投影; Odaka 方程; 图解法; 几何迭代法 O185. 1 透视投影的基础理论包括透视基本定理和基本方程两个方面. 早在1910 年德国学者库 巴( EKruppa) 就创立了笛卡尔直角坐标系的透视基本定理. 它揭示了在透视投影中空间原形 和透视图形之间确定性对应的充要条件, 被称为Kruppa 定理. 对透视方程的研究直到1978 年 才取得突破, 日本神户大学的小高司郎( Skiro Odaka) 教授在国际画法几何会议上首先推出的 [ 1] 透视基本方程 , 在工程图学界引起了普遍关注, 被称为Odaka 方程. 此后国内外学者纷纷对 此进行了研究探讨, 既充分肯定了Odaka 方程的创新成果, 也指出其局限与不足, 并作了补 充, 使之更加完善. Odaka 方程是透视投影的数学依据, 是Kruppa 定理的解析表达式, 它确切地反映了透视 投影中各参数之间的定量关系, 因而对透视投影的基础理论和实际应用都具有重要的意义, 但 迄今为止的文献资料还没有涉及该方程的求解问题. 笔者认为Odaka 方程的求解与它的应用 有密切的联系, 所以本文在对方程进行分析的基础上, 根据各种给题条件, 探讨了该方程的数 解与图解方法. 1 Odaka 方程即三点透视方程组, 是根据图1 所示的透视投影几何模型推导出的, 它可以写 成如下形式: 2 2 a - cacos- abcos + bccos e a - d 2 = p ( 1) b - abcos- bccos + cacos d b - e 2 2 b - ab cos - bccos+ cacos f b - e 2 = 点 (2) c - bccos- cacos+ abcos e c - f + + = 2 ( 3) 收稿日期: 1998- 01- 1 . 138 东 南 大 学 学 报 第28 卷 图1 透视投影几何模型 从代数角度分析, 上述方程组包含了3 个方程, 共9 个参数: a 、b 、c 、d 、e、f 、、、, 因而 三点透视有 个自由度, 任给出其中 个独立参数, 则可解出其余参数, 从而确定三点透视投 影系统. 为了后面叙述方便, 我们把这9 个参数分类定名如下: a 、b、c 与灭点位置有关, 称为灭点 参数; d