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历届高等数学竞赛试卷
第二十届高等数学竞赛试卷
专业年级：
学 号：
姓 名：
成 绩：
页号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分
说明：
1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.
2. 题目所在页背面为草稿纸.
3. 试卷正文共7页.
中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办
基础数学系承办
2006年6月4日
一、填空题（每小题5分，本题共50分）：
1. 若时，与是等价无穷小，则.
解题过程是：
2. .
解题过程是：
3. 设函数在处连续，则.
解题过程是：
4. .
解题过程是：
5. .
解题过程是：
解题过程是：
7.
解题过程是：
8.
解题过程是：
9.
解题过程是：
10. 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有. 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则
.
解题过程是：
二、计算题（每小题6分，本题共42分）：
解题过程是：
2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分
..
解题过程是：
解题过程是：
解题过程是：
解题过程是：
解题过程是：
解题过程是：
三、证明题（本题8分）：
中国石油大学（华东）
第二十届高等数学竞赛试卷参考答案
一、填空题（每小题5分，本题共50分）：
1. 若时，与是等价无穷小，则.
.解 当时，，.
于是，根据题设有 ，故a=-4.
2. .
解 =,
而 ，故 原式=
3. 设函数在处连续，则.
解 由题设知，函数在 处连续，则 ，
又因为 . 所以 .
4. .
5. .
解：本题积分区域为全平面，但只有当
时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可 .
7.
8.
9.
10. 设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有. 对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，则
.
解 两边对求导得
.
令 ，则 ,. 即 ①
设，则
.
则由①可得 .
故由曲线积分与路径无关的定理可知，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有
二、计算题（每小题6分，本题共42分）：
2. 设是锥面的下侧，计算曲面积分
..
解 设：，取上侧，则
.
而 ＝，
.
所以 .
三、证明题（本题8分）：
解 （I）
l2 C
o X
l3
如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则
.
（II） 设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，
曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.
①
②
比较①、②两式的右端，得
由③得，将代入④得
所以，从而
中国石油大学（华东）
第二十一届高等数学竞赛试卷
专业年级：
学 号：
姓 名：
成 绩：
页号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分
说明：
1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.
2. 题目所在页背面为草稿纸.
3. 试卷正文共7页.
中国石油大学（华东）教务处、
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