偏微分方程数值习题解答.doc

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果，则称是的 驻点（或稳定点）.矩阵对称（不必正定），求证是的驻点的充要条件是：是方程组 的解 证明:由的定义与内积的性线性性质,得 必要性:由,得,对于任何,有 , 由线性代数结论知, 充分性: 由,对于任何, 即是的驻点. §1-2 补充: 证明的不同的广义导数几乎处处相等. 证明:设,为的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意,有 两式相减,得到 由变分基本引理,几乎处处为零,即几乎处处相等. 补充:证明的连续性条件(1.2.21) 证明: 设,由不等式 ,其中 习题: 1 设为的一阶广义导数,试用类似的方法定义的阶导数) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义: 对于,若有,使得对于任意的,有 则称有阶广义导数,称为的阶广义导数,并记 注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数. 2.利用的完全性证明是空间. 证明:只证的完全性.设为的基本列,即 因此知都是中的基本列(按的范数).由的完全性,存在,使 ,以下证明(关键证明) 由不等式,有 对于任意的,成立 由 取极限得到 即,即,且 故中的基本列是收敛的,是完全的. 3.证明非齐次两点边值问题 证明:边界条件齐次化 令,则满足齐次边界条件.满足的方程为,即对应的边值问题为 (P) 由定理知,问题与下列变分问题等价 求 其中.而 而 从而 则关于的变分问题等价于:求 使得 其中 4就边值问题（1.2.28）建立虚功原理 解:令,,则满足 等价于: 应用分部积分, 还原, 于是,边值问题等价于:求,使得,成立 注:形式上与用去乘方程两端,应用分部积分得到的相同. 5试建立与边值问题 等价的变分问题. 解:取解函数空间为,对于任意 用乘方程两端,应用分部积分,得到 而 上式为 定义,为双线性形式. 变分问题为:求, 1-4 1.用方法求边值问题 的第次近似,基函数 解:(1)边界条件齐次化:令,,则满足齐次边界条件,且 第次近似取为,其中满足的方程为 又 由三角函数的正交性,得到 而 于是得到 最后得到 2.在题1中,用代替右边值条件,是用方法求解相应问题的第次近似,证明按收敛到,并估计误差. 证明:对应的级数绝对收敛,由的完全性知极限就是解,其误差估计为 3.就边值问题(1.2.28)和基函数 ,写出 方程 解:边界条件齐次化,取,, 对应的微分方程为 对应的变分方程为 变分方程为 取,则方程为 ?取,具体计算 , , ,即解 : 得到方程组为 特别取,有 求解得到 其解为 Ch2??椭圆与抛物型方程有限元法 §1.1 用线性元求下列边值问题的数值解: 此题改为 解: 取,,为未知数. 形式的变分方程为, 其中 , 又 因此 在单元中,应用仿射变换(局部坐标) 节点基函数为 取,则计算得 代数方程组为 代如求值. 取,未知节点值为,方程为 应用局部坐标表示, 系数矩阵为 取, 2.就非齐次第三边值条件 导出有限元方程. 解:设方程为 则由 变分形式为: 记则上述变分形式可表示为 设节点基函数为 则有限元方程为 具体计算使用标准坐标.