习题7解1.doc

习题7 7.1 晶体具有哪些宏观特征？这些宏观特征与晶体的微观结构有何联系？ 答：（单）晶体外形为凸多面体，常呈现出一定的对称性。属于同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）间的夹角恒定不变。晶体是各向异性的，即沿空间不同方向物理量取值不同。晶体具有固定的熔点。 晶体外形上的规则性反映着内部分子（原子）间排列的有序。晶态固体的内部，至少在微米量级的范围是有序排列的，这叫做长程有序。晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中，晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。 7.2 图为一个二维的晶体结构，每一个黑点代表一个化学成分相同的原子。请画出原胞和布喇菲格子。 解：原胞应有以下特点： （1）对于二维结构应有二个独立方向； （2）在每个方向取完整的一个周期； （3）作为重复单元其面积最小。 所以原胞的取法不是唯一的，这里画出两种取法。 从结构图看出，黑点间不是等间距的，一个完整周期中有两个黑点。这就是说，虽然黑点代表的原子的化学成分相同，但在晶体中的地位不同，故区分为两类粒子，只要取出一类粒子的位置作为结点的位置就可以了，所以布喇菲格子由下图所示： 7.3设晶格常数（立方体晶胞边长）为a，问简立方、面心立方、体心立方的最近邻和次近邻格点数各为多少？距离多大？ 答：简立方分别为6个和12个，距离为a和a；面心立方分别为12个和6个，距离为a和a；体心立方分别为8个和6个，距离为a和a。 7.4具有笛卡尔坐标(n1,n2,n3)的所有点形成什么样的布喇菲点阵？如果 (a) ni全为奇数或者ni全为偶数的点的集合； (b) 满足为偶数的点的集合。 答：(a)原点的笛卡尔坐标(0,0,0)，以它为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，这些点的笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为偶数，它们构成边长为2的简立方点阵。同理，以(1,1,1)为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位，其笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为奇数，也构成边长为2的简立方点阵。两套点阵套构成体心立方（坐标为偶数的点为顶角，为奇数的点为体心）。 (b) 为偶数则有两种情况，三个坐标全为偶数，或一个偶数两个奇数。前者构成面心立方（边长为2）的顶角点，后者构成面心立方的面心点，如(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)。所以为偶数的坐标点的集合构成面心立方。 7.5 试证：体心立方格子的倒格子为面心立方格子。 证：体心立方正格子基矢 ，， 因为 故原胞体积 倒格子基矢 类似可得， 与面心立方基矢，，比较可知，上面倒格子是边长等于的面心立方。 7.6将原子想象成刚球，刚球占有空间的比例q可作为原子排列是否紧密的量度。试计算简立方、体心立方、面心立方、金刚石各对应的q值。 解：（1）简立方最近邻原子距离，一个刚球占有的体积，晶胞体积为，平均一个晶胞有1个原子，故 （2）体心立方最近邻原子距离，一个刚球占有的体积，晶胞体积为，平均一个晶胞有2个原子，故 （3）面心立方最近邻原子距离，一个刚球占有的体积，晶胞体积为，平均一个晶胞有4个原子，故 （4）金刚石最近邻原子距离，一个晶胞有8个原子，故 7.7设原胞基矢、、相互正交，求倒格子基矢。什么情况下，晶面(h k l)与晶轴[h k l] 正交？ 解：因为正交，可设、、，且原胞体积。所以 ，， 晶轴[h k l]沿，而晶面(h k l)的法线方向为。如果晶面(h k l)与晶轴[h k l] 正交，则与平行，即有。而 所以晶面(h k l)与晶轴[h k l] 正交的充要条件是 或由知，，得 7.8 找出四方体(a=b≠c)和长方体(a≠b≠c)的全部对称操作。 解：（1）设两底面为正方形，侧面为长方形。则两底面中心连线为4次轴，两对侧面中心连线为2次轴。四条侧棱中，两组对棱中心连线各构成一个2次轴。考虑到不动也是对称操作，所以共有转动对称操作 3 + 2×1 + 2×1 + 1=8 由于四方体中心为对称中心，所以转动反演对称操作也有8个，故共有16个对称操作。 （2）对于长方体，只存在3个2次轴（3对面中心连线），也存在对称中心，对称操作数为 2×（3×1 + 1）=8 7.9 试求金刚石结构中共价键之间的夹角。 解：金刚石结构没见教材图7.1-11，碳原子B1原子周围4个碳原子是A1、A2、A3、A4，各点坐标：，，，，。不难看出：， 故，而，所以两者夹角为 7.10为什么说不同波矢可以对应于同一格波？ 答：格波描写晶体中各原子的集体振动，由于原子的平衡位置构成周期性排列，振动量是原子的位移，所以格波描写的振动点是空间分列点，不同波矢的波动对这些分列点的振动描述