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2005级量子力学期末考试试卷B 一、 填空（10分） 1．氢原子波函数中，电子的第n个能级是 度简并的。 2．电子自旋角动量的x分量在表象中的矩阵形式为 。 3．已知动量算符在坐标表象中的形式为，则坐标算符在动量表象中的形式为 。 4．量子力学中，把粒子的能量和波的频率、粒子的动量和波长联系起来的德布罗意关系为 ， 。 二、 名词解释（20分） 1．态叠加原理 2.全同粒子 3.简单塞曼效应 4.光谱的精细结构 三、解答题（共70分） 1．质量为的粒子在势场V(x) 中作一维束缚运动，两个能量本证函数分别为 ， A, B, b, c 均为实常数。试确定参数b, c 的取值，并求这两个态的能量之差。 2，厄米算符与满足，且。求： （1）在表象中与的矩阵表示。 （2）在表象中的本征值与本征矢。 3，氢原子处在基态，求： （1）r的平均值，（2）最可几半径，（3）动能平均值，（4）动量的几率分布函数。 4，一维无限深势阱中运动的粒子的状态是，其中阱宽为a，求：粒子的能量概率分布和能量平均值。 5，设算符，。又设为的本征矢，相应的本征值为。求证和也是的本征矢，并求出相应的本征值。 2005级量子力学期末考试试卷B答案 一．（每空2分共10分） 1， 2， 3， 4，， 二、 名词解释（20分） 1．态叠加原理 2.全同粒子 3.简单塞曼效应 4.光谱的精细结构 [solve] 1，当体系处于某些态：的叠加态时，体系部分的处于 态之上。 2，质量，电荷，自旋等固有性质完全相同的微观粒子为全同粒子。 3，氢原子或类氢原子在没有外磁场时的一条谱线在强外磁场中分裂为3条的现象。 4，对氢原子或类氢原子，在考虑旋轨相互后将使原来简并的能级分裂开来的现象。 三．解答题（共70分） 1．（10分）1．质量为的粒子在势场V(x) 中作一维束缚运动，两个能量本证函数分别为 ， A, B, b, c 均为实常数。试确定参数b, c 的取值，并求这两个态的能量之差。 解： 与分别满足定态方程 (1) (2) 将代入方程（1），得 (3) 显然V(x)满足条件V(-x)=V(x)，故在此势场中的一维束缚定态波函数有确定的宇称。而要有确定的宇称，其中参数b必须为零，即 (4) 将与(4)式代入波函数的正交公式： (5) 得，即 (6) 方程（1）与（2）可写为如下形式 (7) (8) ，得 (9) 2．厄米算符与满足，且。求： （1）在表象中与的矩阵表示。 （2）在表象中的本征值与本征矢。 [solve] （1）（5分）令的本征值为，本征态为，则 ，，， 类似的，的本征值。于是，在表象中 ， 由易得a=0, d=0. 即。又由得。故 再由可得。于是，故最终得到 （2）（5分）由或，当时，即为，则可得 。所以 由归一化条件易得。所以最终可得 同理可得当时， 3，氢原子处在基态，求：（1）r的平均值，（2）最可几半径，（3）动能平均值，（4）动量的几率分布函数。 [solve] （1）（5分） （2）（5分）由径向几率分布： 可得 故 令 ，可解得 ，（舍）， 故最可几半径为 （3）（5分） （4）（5分）由展开假设可得 所以 积分过程是不变的，所以设沿z轴方向。则 4．（20分）一维无限深势阱中运动的粒子的状态是，其中阱宽为a，求：粒子的能量概率分布和能量平均值。 [solve] 归一化 可得 又由一维无限深势阱中粒子能量本征函数 并结合展开假设可得 所以能量的概率分布为 其中0对应n取偶数，对应n取奇数。 能量平均值为 5．（10分）设算符，。又设为的本征矢，相应的本征值为。求证和也是的本征矢，并求出相应的本征值。 [solve] 即是的本征矢，对应得本征值为 即也是的本征矢，对应的本征值为