(第21课时)两倍角的正弦余弦正切.doc

课 题：47二倍角的正弦、余弦、正切（3） 教学目的： 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：二倍角公式的应用 教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 二倍角公式: ； ； ； 二、讲解新课： 1．积化和差公式的推导 sin(( + () + sin(( ( () = 2sin(cos( ( sin(cos( =[sin(( + () + sin(( ( ()] sin(( + () ( sin(( ( () = 2cos(sin( ( cos(sin( =[sin(( + () ( sin(( ( ()] cos(( + () + cos(( ( () = 2cos(cos( ( cos(cos( =[cos(( + () + cos(( ( ()] cos(( + () ( cos(( ( () = ( 2sin(sin( ( sin(sin( = ([cos(( + () ( cos(( ( ()] 2．和差化积公式的推导 若令( + ( = (，( ( ( = φ，则， 代入得： ∴ 3．半角公式 证：1(在 中，以(代2(，代( 即得： ∴ 2(在 中，以(代2(，代( 即得： ∴ 3(以上结果相除得： 4( 4．万能公式 证：1( 2( 3( 三、讲解范例： 例1已知，求3cos 2( + 4sin 2( 的值 解：∵ ∴cos ( ( 0 (否则 2 = ( 5 ) ∴ 解之得：tan ( = 2 ∴原式 例2已知，，tan( =，tan( =，求2( + ( 解： ∴ 又∵tan2( 0，tan( 0 ∴， ∴ ∴2( + ( = 例3已知sin( ( cos( = ，，求和tan(的值 解：∵sin( ( cos( = ∴ 化简得： ∴ ∵ ∴ ∴ 即 例4已知cos( ( cos ( = ，sin( ( sin( = ，求sin(( + ()的值 解：∵cos( ( cos ( = ，∴ ① sin( ( sin ( =，∴ ② ∵ ∴ ∴ ∴ 例5求证：sin3(sin3( + cos3(cos3( = cos32( 证：左边 = (sin3(sin()sin2( + (cos3(cos()cos2( = ((cos4( ( cos2()sin2( + (cos4( + cos2()cos2( = (cos4(sin2( +cos2(sin2( +cos4(cos2( +cos2(cos2( = cos4(cos2( + cos2( = cos2((cos4( + 1) = cos2(2cos22( = cos32( = 右边 ∴原式得证 四、课堂练习： 1已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0 求证：α＋2β＝ 证法1：由已知得3sin2α＝cos2β ① 3sin2α＝2sin2β ② ①÷②得tanα＝ ∵α、β为锐角 ∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0， ∴－＜－2β＜ ∴α＝－2β，α＋2β＝ 证法2：由已知可得： 3sin2α＝cos2β 3sin2α＝2sin2β ∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β ＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α ＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0 又由α＋2β∈（0，） ∴α＋2β＝ 证法3：由已知可得 ∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β ＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α ＝3sinα（sin2α＋cos2α）＝3sinα 又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③ ①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1 ∴sinα＝，即sin（α＋2β）＝1 又0＜α＋2β＜ ∴α＋2β＝ 评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－，)上，