第02讲自主招生数学试题的来源.doc

第02讲:自主招生数学试题的来源 1 第02讲:自主招生数学试题的来源 杨老师专论 （电话号码：2078159；手机号码 面对自主招生考试,人们最关心的问题有:1.考什么？对这个问题我们在第一讲中已给出了一定的探索;2.怎样考？本讲通过探索激动人心的课题,即自主招生数学试题的来源,继续研究第一个问题,并兼顾研究第二个问题. 1.引用于数学典题:自主招生考试基的最大值为9,最小值为1,求满足条件的实数a,b. [解析]: [练习1]: 1.(2008年上海交通大学保送生考试试题)函数y=的最大值为 . 2.(2003年同济大学保送生考试数学试题)不等式0对于任意x∈R都成立求k的取值范围已知(θ∈[0,2π)). (Ⅰ)求y的最小值(Ⅱ)求取得最小值时的的最大值是 . 2.(2008年重庆高考试题)函数f(x)=(0≤x≤2π)的值域为( ) (A)[,0] (B)[-1,0] (C)[-,0] (D)[-,0] [例3]:(2006年上海交通大学保送生考试试题)a,b,c(R,abc(0,b(c,a(b(c)x2(b(c(a)x(c(a(b)(0有两个相等根求证,,成等差数列求证成等差数列+sin2+sin2=cos2证明: 2 第02讲:自主招生数学试题的来源 (Ⅰ)tan,tan,tan成等比数列; (Ⅱ)cot,cot,cot成等差(2007年天津高考试题)(Ⅱ)证明;不等式Sn+1≤4Sn,对任意n∈N*皆成立. ②(2008年武汉大学保送生考试试题)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*. (Ⅰ)求证:数列{an-n}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn. [解析]: [练习4]: 1.①(2002年上海交通大学保送生考试试题)若3a=4b=6c,则+-= . ②(1993年全国高考题)设a、b、c∈R+,且3a=4b=6c,那么( ) (A) (B) (C) (D) 2.①(2012年“北约”自主招生数学试题)己知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,求|m-n|. ②(2003年新课程高考试题)己知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=( ) (A)1 (B) (C) (D) [例5]:①(2007年高考试题). (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)当a≠0时,求函数f(x)的极大值和极小值; (Ⅲ)当a3时,证明:存在k∈[-1,0],使得不等式f(k-cosx)≥f(k2-cos2x),对任意的x∈R恒成立. ②(2009年华南理工大学自主招生数学试题)已知函数f(x)是定义在[-4,+∞)的单调增函数,要使得对于定义域内的一切实数x,不等式f(cosx-b2)≥f(sin2x-b-3)恒成立,求实数b的取值范围. [解析]: [练习5]: 1.①(2006年重庆高考试题)若a,b,c0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,则a+b+c的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C)2 (D) ②(2008年南开大学保送生考试试题)已知正数a、b、c满足:a2+ab+ac+bc=6+2,则3a+b+2c的最小值是 . 2.①(2000年北京、安徽春招试题)设函数f(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)f(b),证明:ab1. 第02讲:自主招生数学试题的来源 3 ②(2002年上海交通大学保送生考试试题)函数f(x)=|lgx|,有0ab,且f(a)=f(b)=2f(). (Ⅰ)求a、b满足的关系;