矩阵分析第3章习题解答.doc

第三章 已知是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间中向量 定义内积为 证明在上述定义下，是酉空间； 写出中的Canchy-Schwarz不等式。 已知，求的标准正交基。 提示：即求方程的基础解系再正交化单位化。 已知 试求酉矩阵，使得是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 试证：在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的Hermite矩阵。 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵，使为对角矩阵，已知 ， 试求正交矩阵，使为对角矩阵，已知 ， 试求矩阵，使（或），已知 ， 设n阶酉矩阵的特征根不等于，试证：矩阵满秩，且是Hermite矩阵。反之，若是Hermite矩阵，则满秩，且是酉矩阵。 证明：若，观察知为的特征值，矛盾，所以矩阵满秩。，要，只要 故 由知为H的特征值。由Hermite矩阵只能有实数特征值可得，即满秩。 若分别是实对称和实反对称矩阵，且，试证： 是酉矩阵。 证明： 设均是实对称矩阵，试证：与正交相似的充要条件是与的特征值相同。 证明：相似矩阵有相同的特征值。与正交相似与的特征值相同。 若与的特征值相同，又均是实对称矩阵。所以存在正交阵Q，P使 其中为正交阵。 设均是Hermite矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特征值相同。 证明：同上一题。 设均是正规矩阵，试证：与酉相似的充要条件是与的特征值相同。 同上 设A是Hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得 设A是Hermite矩阵，且，则存在酉矩阵，使得。 设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，试证：与的特征值实部为0。 证：A为正定Hermite矩阵，为满秩的。 ， 是反Hermite矩阵，反Hermite矩阵的特征值实部为0,所以的特征值实部为0。 设均是Hermite矩阵，且A正定，试证：与的特征值都是实数。 证明：同上题。， ，是Hermite矩阵，Hermite矩阵的特征值为实数,所以的特征值是实数。 设A为半正定Hermite矩阵，且，试证：。 证明：A的特征值为，矩阵的行列式等于特征值之积。特征值为， 设A为半正定Hermite矩阵，，B是正定Hermite矩阵，试证：。 证明：，为满秩的。 为半正定Hermite矩阵，由上题， 设A为正定Hermite矩阵，且，则。 证明：存在，。又， 试证：（1）两个半正定Hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩阵与正定Hermite矩阵之和是正定的。 提示：考查 设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，试证：A＋B是可逆矩阵。 提示：A为正定Hermite矩阵，为满秩的。 是反Hermite矩阵，特征值实部为0,，所以 设A，B是n阶正规矩阵，试证：A与B相似的充要条件是A与B酉相似。 证明：充分性，酉相似相似。 必要性，A，B是n阶正规矩阵，，又A与B相似, 与的特征值相同,可设 ， 设，试证：总存在，使得是正定Hermite矩阵，是负定Hermite矩阵。 提示：A的特征值为，则的特征值为 设A是正定Hermite矩阵，且A还是酉矩阵，则。 提示： 设A、B均为正规矩阵。且，则与均为正规矩阵。 提示：用Ｐ１５０定理，可以同时酉对角化。 设，试证：是酉矩阵。 提示： 设A为n阶正规矩阵，为A的特征值，试证：的特征值为。 提示：，，所以的特征值为 设，试证：（1）和都是半正定的Hermite矩阵；（2）和的非零特征值相同。 提示：（1） （2），特征值的重数也相同，参见P191 设A是正规矩阵，试证：（1）若（为自然数），则；（2）若，则；（3）若，则。 设，求证以下三条件等价： 　（1）为正规矩阵 　（2） 　（3） 解：（1）（2）由。 （2）（3）,由 （2）（1）,由 31、设，则A可以唯一的写为，其中为Hermite矩阵。且A可以唯一的写为，其中B是Hermite矩阵，C是反Hermite矩阵。 解：设，其中为Hermite矩阵，则。。唯一性（略）