九年级数学同步培优竞赛详附解答 29第二十九讲 由正难则反切入.doc

明师讲义： 人们习惯的思维方式是正向思维，即从条件手，进行正面的推导和论证，使问题得到解决．但有些数学问题，若直接从正面求解，则思维较易受阻，而“正难则反，顺难则逆，直难则曲”是突破思维障碍的重要策略． 数学中存在着大量的正难则反的切入点．数学中的定义、公式、法则和等价关系都是双向的，具有可逆性；对数学方法而言，特殊与一般、具体与抽象、分析与综合、归纳与演绎，其思考方向也是可逆的；作为解题策略，当正向思考困难时可逆向思考，直接证明受阻时可间接证明，探索可能性失败时转向考察不可能性．由正难则反切入的具体途径有： 定义、公式、法则的逆用； 2．常量与变量的换位； 3．反客为主； 4．反证法等． 【例题求解】 【例1】 已知满足，那么的值为 ． (河南省竞赛题) 思路点拨 视为整体，避免解高次方程求的值． 【例2】 已知实数、、满足，且求的值． (第四届《学习报》公开赛试题) 思路点拨 显然求、、的值或寻求、、的关系是困难的，令，则2002=，原等式就可变形为关于的一元二次方程，运用根与系数关系求解． 注：（1）人们总习惯于用凝固的眼光看待常量与变量，认为它们泾渭分明，更换不得，实际上将常量设为变量，或将变量暂时看作常量，都会给人以有益的启示． （2）人的思维活动既有“求同”和“定势”的方面，又有“求异”和“变通”的方面．求同与求异，定势与变通是人的思维个性的两极，充分利用知识和方法的双向性，是培养思维能力的重要途径． 正难则反在具体的解题中，还表现为下列各种形式： (1)不通分母通分子； (2)不求局部求整体； (3)不先开方先平方； (4)不用直接挖隐含； (5)不算相等算不等； (6)不求动态求静态等． 【例3】 设、、为非零实数，且，，，试问：、、满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根． 思路点拨 如从正面考虑，条件“三个方程中至少有一个方程有不等的实数根”所涉及的情况比较复杂，但从其反面考虑情况却十分简单，只有一种可能，即三个方程都没有实数根，然后从全体实数中排除三个方程都无实数根的、、的取值即可． 注：受思维定势的消极影响，人们在解决有几个变量的问题时，总抓住主元不放，使有些问题的解决较为复杂，此时若变换主元，反客为主，问题常常能获得简解． 【例4】 已知一平面内的任意四点，其中任何三点都不在一条直线上，试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一内角不大于45°?请证明你的结论． (江苏省竞赛题) 思路点拨 结论是以疑问形式出现的，不妨先假定是肯定的，然后推理．若推出矛盾，则说明结论是否定的；若推不出矛盾，则可考虑去证明结论是肯定的． 【例5】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由． (北京市竞赛题) 思路点拨 先假设存在正整数，，，满足 (，=1，2，3，4，m为正整数)．运用完全平方数性质、奇偶性分析、分类讨论综合推理，若推出矛盾，则原假设不成立． 注：反证法是从待证命题的结论的反面出发，进行推理，通过导出矛盾来判断待证命题成立的方法，其证明的基本步骤是：否定待证命题的结论、推理导出矛盾、肯定原命题的结论． 宜用反证法的三题特征是： (1)结论涉及无限； (2)结论涉及唯一性； (3)结论为否定形式； (4)结论涉及“至多，至少”； (5)结论以疑问形式出现等． 学力训练 1．由小到大排列各分数：，，，，，是 ． 2．分解因式= ． 3．解关于的方程：(≥)得= ． 4．的结果是 ． 5．若关于的三个方程，， ，中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 ． 6．有甲、乙两堆小球，如果第一次从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放到乙堆，第二次从乙堆拿出和甲堆剩下的同样多的小球放到甲堆，如此挪动4次后，甲、乙两堆小球恰好都是16个，那么，甲、乙两堆最初各有多少个小球?