§1-4对换.ppt

§1、4 对换 定义（对换）：将一个排列里某两个数码 与 交换，而 其余数码保持不动，可得一个新的排列，称对排列所施行 的这样一个变换，叫做一个对换，用符号 来表示； 例 1：考察排列 可以对其陆续施行若干次 对换，使其变为自然排列 事实上 显然，也可经一系列对换由 得到 由此，可得如下定理1 ： 定理1 ：对换改变排列的奇偶性。 证明：分两步证明 （一）设对换的两个数码是相邻的，即对于排列（1） 施行 对换后得排列（2） 显然，当 时，排列（2）的反序数比排列（1）多1 当 时，排列（2）的反序数比排列（1）少1 故，相邻数码的对换改变排列的奇偶性； （二）设对换的两个数码之间有 个数码，即由（1） 施行 对换后得排列（2） 为此，在（1）中依次让 与 作 次相邻 数码的对换，即可得到 再让 与 作 次相邻数码的对换， 即可得到（2）； 这表明，共经 次相邻数码的对换，即可由（1） 得到（2），注意到 是奇数，故（2）与（1）的 奇偶性相反；从而：对换改变排列的奇偶性，得证。 推论1 ： 时， 个数码的排列中，奇排列与偶排列 的个数相等，均为 个。 证明： 设所有 个 阶排列中，奇排列共有 个 记为 再设所有偶排列共有 个，则 对每一个奇排列 都作一个相同的 对换，由定理1 知可得 个偶排列 但所有偶排列共 个，故必 同理可证， 于是有 证毕。 推论2 ：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数；偶排列 标准排列的次数为偶数。 证明：由定理1 知对换次数就是排列奇偶性的变化次数，而 标准排列是偶排列，故结论成立。 利用定理1，可得行列式定义的另一种表示方法： 对于行列式的任意一项 其中 为自然排列， 为排列 的逆序数； 对换元素 与 得到 显然，这一项的值不变，而行指标与列指标同时作了一次对换 设新的行标排列 的逆序数为 则 为奇数； 再设新的列标排列 的逆序数为 则： 故 从而， 这表明，对换乘积中两个元素的次序，行指标与列指标 同时作了相应的对换，但行标排列与列标排列的逆序数之和 并不改变奇偶性；经一次对换是如此，经多次对换还是如此。 于是，经过若干次对换，可使列标排列 变为自然排列 其逆序数从 变到0 此时，行标排列相应地从自然排列变为某个新的排列， 设此新排列为 ，其逆序数为 ，则有 显然，排列 可由 唯一确定；故可得 定理2 ： 阶行列式也可定义为 证明： 考察 显然 与 有着完全相同的项，且由上面的讨论知 每一项都有完全相同的符号，故必有 从而 与 *