代数系统－群11 30.pptVIP

上次课主要内容： 群的定义 1、定义11．4 设G，? 是代数系统， ? 为二元运算． 如果? 运算是可结合的，存在单位元 e ∈ G， 并且对G中的任何元素x都有x-1 ∈ G，则称G为群。 在含幺半群的基础上添加了条件：每个元素均有逆元 6、定理11．2 设G为群， ?a,b∈G 方程 ax=b和ya=b在G中有解且有惟一解 幺元是群中唯一的等幂元 例 设G={a1，a2，…，an}是n阶群 令aiG={aiaj | j=1，2，· · · ·, n} 证明 aiG = G． 证: 由群中运算的封闭性有aiG ? G． 假设 aiG ? G，即|aiG |n． 必有aj，ak ∈ G使得 aiaj = aiak (j ≠ k) 由消去律得 aj=ak，与 | G |= n矛盾 2) 设 |ab|=r ,|ba|=t 则展开 (ab)tab = a(baba…ba)b =a(ba)tb = ab 即 (ab)t = e 有 r|t 展开（ba)rba = b(abab…ab)a = b(ab)ra = ba 即 (ba)t = e 有 t|r 所以有 r=t § 10．2 子群与群的陪集分解 一、子群就是群的子代数． 1）定义 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群， 记作H≤G． 若H是G的子群，且H ? G，则称H是G的真子群， 记作HG． 二、子群的判定定理 1、定理10．4(判定定理一) 设G为群，H是G的非空子集．H是G的子群当且仅当下面的条件成立： 1） ?a,b∈H 有 ab ∈H （运算封闭) 2) ?a∈H 有 a-1 ∈H (存在逆元) 充分性：只要证明e ∈H 即可 例、设G是群 对于任意的a ∈G 令S={ an |n ∈Z } 证明S是G 的子群 证：按判定定理二来判断 对任意的an,am ∈S an(am)-1 = an(a-1)m =an-m n- m∈ Z 所以 an-m ∈S 如果a的阶是有限的（为r) 则 S={a,a2,a3,…ar} 三、群的陪集分解 1、右陪集定义 设H是群G的子群，a∈G 令Ha={ha|hG} 称Ha是子群H在G中的右陪集，称a为Ha的代表元素 例：设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H={e,a}是G的子群 H的所有右陪集为：He=Ha=H={e,a} Hb={b,c}=Hc 不同的右陪集只有两个H、{b,c} 2、右陪集的性质 1）定理10.7 设H是群G的子群，则 （1）He=H (2) ?a∈G 有 a∈Ha 作业：P203 17、18、20、22 * * 2、特殊的群 1、定义11．5 (1)若群G是有穷集，则称G是有限群 否则称为无限群． 群G的基数称为群G的阶． (2)只含单位元的群称为平凡群． (3)若群G中的二元运算是可交换的， 则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群． 3、群中元素的幂 定义： G是群， a∈G ， n ∈ Z 则元素a的n次幂: e n = 0 an = an-1a n0 (a-1)m n0 n=-m 4、元素的阶 定义11．7 设G是群，a ∈ G，使得等式: ak=e 成立的最小正整数是称为d的阶(a的周期）， 记作 ｜a｜ =k 这时也称a为k阶元 若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元 5、元素幂的性质 定理11．1 设G为群 则G中的幂运算满足： (1)?a∈G ，(a-1)-1 = a (2)?a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1 (3)?a∈G anam=an+m n,m∈Z (4)?a∈G (an)m=anm n,m∈Z (5)若G为交换群，则(ab)n=anbn a-r=(ar)-1 （ar)-1 = (a-1)r 7、群满足消去律 定理11．3 设G为群， ?a,b，c∈G 1)若 ab = ac 则 b = c 2)若 ba = ca 则 b = c 8、定理 设G为群， a∈G 且|a|=r 1) ak = e