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复变函数(西交大)第二讲
第二讲 复变函数与解析函数 作 业 P34 26, 27 P66 3(2)(4) * 1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射 §5 复变函数 1. 复变函数的定义 —与实变函数定义相类似 定义 例1 例2 o x y (z) G o u v (w) G G* w=f(z) 在几何上, w=f(z)可以看作: 定义域 函数值集合 2. 映射的概念 ——复变函数的几何意义 z w=f(z) w 以下不再区分函数与映射(变换)。 在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u,v 与 x,y 之间的对应关系,以便在研究和理解复变 函数问题时,可借助于几何直观. 复变函数的几何意义是一个映射(变换) 例3 解 —关于实轴对称的一个映射 见图1-1~1-2 —旋转变换(映射) 见图2 例4 解 o x y (z) x、u y、v (z)、(w) o x、u y、v (z)、(w) o 图1-1 图1-2 图2 u v (w) o 例5 o x y (z) o u v (w) o x y (z) o u v (w) R=2 R=4 3. 反函数或逆映射 例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射 ∴为多值函数,2支. 定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G* 则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数(逆映射). 例 已知映射w= z3 ,求区域 0argz 在平面w上的象。 例 1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性 §6 复变函数的极限与连续性 1. 函数的极限 定义 u v (w) o A x y (z) o 几何意义: 当变点z一旦进 入z0 的充分小去 心邻域时,它的象 点f(z)就落入A的 一个预先给定的 ε邻域中 (1) 意义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数. 2. 运算性质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系: 定理1 (3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的. 定理2 以上定理用极限定义证! 例1 例2 例3 3.函数的连续性 定义 定理3 例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续。 证明 x y (z) o z z 定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。 有界性: 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念 §2.1 解析函数的概念 一. 复变函数的导数 (1)导数定义 定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D, 如果极限 存在,则称函数 f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数, 记作 如果w=f(z)在区域D内处处可导,则称 f (z)在区域D内可导。 (1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z) 例1 (2)求导公式与法则 ① 常数的导数 c?=(a+ib)?=0. ② (zn)?=nzn-1 (n是自然数). 证明 对于复平面上任意一点z0,有 ----实函数中求导法则的推广 ③ 设函数f (z),g (z) 均可导,则 [f (z)±g (z)]? =f? (z)±g?(z), [f (z)g(z)]? = f? (z)g(z) + f (z)g?(z) ④复合函数的导数 ( f [g(z)])? =f? (w)g?(z), 其中w=g(z)。 ⑤ 反函数的导数 ,其中: w=f (z) 与z=?(w)互为单值的反函数,且??(w)?0。 思考题 例3 问:函数f (z)=x+2yi是否可导? 例2 解 解
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