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　　CPA模型与“模型图”在新加坡的应用 --CPA模型与“模型图”在新加坡的应用 摘要：有效的数学课程实施模型及方法是保证实现数学教育目的的重要保证。CPA模型与“模型图”是在新加坡小学数学课程实施过程中的重要模型与方法。新加坡学生在国际测试中的突出表现，可以说，从一定程度上验证了CPA模型与“模型图”的重要教育价值。关于它们是什么，怎么使用，它们的作用机制是什么等问题是值得洞察的，因为这不仅使我们理解其原理和意义，更重要的是，我们可以从中学到什么。 关键词：数学课程 模型 策略 应用题 新加坡学生在TIMSS(Third InternationalMathematics and Science Study)中屡次表现突出，这引起了不同国家的教育研究者、政策制定者、教育工及公众对新加坡的数学教育的极大关注，[1]反响最大的是美国教育界，因为美国学生成绩在测试中明显落后于亚洲同龄人。美国学校开始引进新加坡数学教育，一个直接的做法就是引进新加坡数学课本。现在已有大量的美国学校在使用新加坡数学课本，特别是小学数学课本。新加坡小学数学课本的一个重要特征是充满了“框格”图，被称为“模型图”法(ModelMethod)。这些“模型图”如同魔术吸引着孩子，让他们觉得数学很有趣。这些简单“模型图”是建构深层的数学认知的活跃工具。从课程设置到课本呈现，“模型图”实际上是CPA(concret-pictorial-abstract)模型的具体体现。以下部分我们就以新加坡小学数学课程为背景来对他们的内在关系以及他们在小学数学教与学中的潜在意义作一说明，也期望能对我国的小学数学教与学有着一定的启发作用。 一、新加坡小学数学课程数学教育的目的在于能促使学生： （1）获得日常生活，以及持续数学学习和相关学科学习必需的数学概念和技能； （2）发展获得和应用数学概念和技能所需要的加工技能； （3）发展数学思维以及问题解决技能和应用这些技能去规划和解决问题； （4）识别和应用数学思想间的联系，以及数学与其他学科间的联系； （5）发展积极的数学学习态度； （6）在数学学习和应用中有效利用不同的数学工具（包括信息技术工具）； （7）从数学观念中产生富有想象力和创造力的成果； （8）发展逻辑推理，数学地交流，以及合作学习和独立学习的能力。　 　数学课程设置结构 [3]则以数学问题解决为核心来体现数学教育的目的。从这个课程设置的框架可以看出，数学问题解决是数学学习的核心。它体现了数学概念和技能的获得和应用是在广泛的情景中实现的，包括非常规、开放式的现实问题。　　数学问题解决能力的发展是依据五个内在关联的组成部分：概念，技能，过程，态度和元认知而实现的。这个五角星框架超越了学校数学大纲的内容，体现了数学教学和学习的本质。数学学习在所有阶段不仅包括对基本数学概念和技能的获得，它也包括对以下几个方面的理解，如在基本的数学思维，问题解决的一般策略，对数学作为日常生活中重要和有力工具的积极态度和欣赏等方面。其中内含重要的思想是，小学到中学的连贯性。采用螺旋式课程设置，贯穿年级的主题会随着年级的升高而不断加深。这保证能巩固学生已学的概念和技能，并进一步发展这些概念和技能。 二、CPA模型 　数学概念的具体-表象-抽象(concrete-pictorial-abstract,CPA)的发展模式是着重强调的课程实施发展方法。小学低年级尽可能多地提供动手活动发展他们的具体经验，小学中年级要尽可能地发展他们的表象经验，小学高年级逐步发展他们的抽象概念。到具体的某个数学概念的学习，则可从设计动手活动开始到发展表象，到逐步抽象出数学概念的理想模式发展。当然中间过程可以采用多次“回头”的策略来促使学生的认知发展，如在从具体的活动向表象阶段发展的过程中，要是学生有困难发展他们的表象，也可再次突出具体活动的特征，尝试再次建构的过程。当然如果学生已经成功地建构了他们表象，也可以采用“回头”的策略加深他们对具体经验与表象之间的关联，同时也包括如果学生已经成功地建构了抽象概念，也可以采用“回头”的策略加深他们对具体经验与抽象概念之间的关联。从数学概念的认识论角度来看，CPA模型在数学概念的认知上具有媒介的功能性。数学概念的认识论模型表明，数学需要一定的符号系统来注册和编码知识。这些符号本身并没有什么意义，符号意义的产生是要借助认识的物体通过在合适的参考情境中建构一个媒介来实现。这个媒介不完全是主观的和任意的，为了使符号成为真正的数学符号，同参考物体相连的关系同时也要取决于数学知识在基本数学概念中显现时的认知条件。[5]数学符号，参考情境，以及媒介（受制于数学知识认知条件的，并置于数学符号和参考情境之间的）可以用认识论的三角模型表示出来认识论的三角模型表征了一个关系范式，其中，数学概念的意义不可能只是