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几个重要的均值不等式 ①当且仅当a = b时，“=”号成立； ②当且仅当a = b时，“=”号成立； ③当且仅当a = b = c时,“=”号成立； ④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立. 注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 二、函数图象及性质 (1)函数图象如图： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：，；单调递减区间：，. 应用一：求最值 技巧一：凑项 例1：已知，求函数的最大值。 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，， 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求的最大值。 解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。 变式：设，求函数的最大值。 解：∵∴∴ 当且仅当即时等号成立。 技巧三： 分离 例3. 求的值域。 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号） 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。 解：令，则 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。 所以，所求函数的值域为 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性 已知，且，求的最小值 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋ eq \f(y 2,2) ＝1，求x eq \r(1＋y 2) 的最大值 因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ eq \f(a 2＋b 2,2) 。 同时还应化简 eq \r(1＋y 2) 中y2前面的系数为 eq \f(1,2) ， x eq \r(1＋y 2) ＝x eq \r(2· eq \f(1＋y 2,2) ) ＝ eq \r(2) x· eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) 将x， eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) 分别看成两个因式： x· eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ≤ eq \f(x 2＋( eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) )2,2) ＝ eq \f(x 2＋ eq \f(y 2,2) ＋ eq \f(1,2) ,2) ＝ eq \f(3,4) 即x eq \r(1＋y 2) ＝ eq \r(2) ·x eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ≤ eq \f(3,4) eq \r(2) 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ eq \f(1,ab) 的最小值. 这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 法一：a＝ eq \f(30－2b,b＋1) ， ab＝ eq \f(30－2b,b＋1) ·b＝ eq \f(－2 b 2＋30b,b＋1) 由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ eq \f(－2t 2＋34t－31,t) ＝－2（t＋ eq \f(16,t) ）＋34∵t＋ eq \f(16,t) ≥2 eq \r(t· eq \f(16,t) ) ＝8 　　　∴ ab≤18 ∴ y≥ eq \f(1,18) 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 eq \r(2 ab ) 　∴ 30－ab≥2 eq \r(2 ab ) 　　　令u＝ eq \r(ab ) 　则u2＋2 eq \r(2) u－30≤0， －5 eq \r(2) ≤u≤3 eq \r(2) 　　　∴ eq \r(ab ) ≤3 eq