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正交函数与傅立叶级数
正交函數與傅立葉級數
正交函數
在高等數學中,函數可視為廣義向量 (Generalized Vector) 。
3-Dimension中,向量的內積性質:
(1) (u, v) (v, u)
(2) (ku, v) k (u, v) ,k 為純量
(3) 若 u 0 (u, u) 0
若 u 0 (u, u) 0
(4) (u v, w) (u, w) (v, w )
2
(5) 長度或Norm :(u, u) u ,或者u u u
** 廣義的內積觀念亦應具有這些相同的性質。
函數內積的定義:
假設 f , f 為定義於區間 [ a, b ] 內的函數,則 f , f 在 [ a, b ] 內的內積 [ Inner
1 2 1 2
Product] 定義為:
b
(f 1, f 2 ) f 1(x )f 2 (x )dx
a
正交函數 [ Orthogonal Function]
b
若 (f 1, f 2 ) f 1(x )f 2 (x )dx 0 ,則稱f 1, f 2 互為正交函數。
a
** 此處 ” 正交( Orthogonal ) ”並非指 ” 垂直( Perpendicular ) ” ,意即無幾何上的意
義。
Ex. f 1(x ) x 2 ,f 2 (x ) x 3 ,在[ 1, 1]內正交。
正交集合
實值函數集合 { (x), (x), (x), } ,若
0 1 2
b
( , ) (x ) (x )dx 0, m n
m n m n
a
則該集合稱為在區間 [a, b] 內為正交。
Ex. 函數 1 ,sint ,cost ,cos2t 何者拿掉後,剩下的三個函數會在 t [0,的區間內彼此呈正]
交 ? [78 年電機高考]
Sol sint
1
範 [Norm]
函數 (x的) Norm ,或廣義長度 [ Generalized Length] 定義為
n
b
2
(x) ( , ) (x)dx
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