正交变换与正交矩阵戴立辉林大华林孔容(闽江学院数学系福建福州.PPT

正交变换与正交矩阵 摘 要 介绍正交变换的概念，研究线性变换为正交变换的等价条件；从矩阵理论的角度，探讨正交矩阵的常用性质. 关键词 正交变换；正交矩阵；等价条件；性质 一、正交变换 定义1.1 设A是欧氏空间V的一个线性变换,若A保持向量的内积不变,即对于任意的?，??V都有(A?，A?) = (?，?)，则称A为V的正交变换. 二、等价条件 定理2.1 设A是n维欧氏空间V的一个线性变换,则下列命题等价: 1)A是正交变换； 2)A保持向量的长度不变,即对于??V，|A?|=|?|； 3)A把V的标准正交基变为V的标准正交基； 4)A在标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 证：1）?2）对于??V,由(A?，A?)=(?，?), 即得： |A?|=|?| 2）?3）设?1，?2，…，?n是V的任一标准正交基,记?i+?j=??V. 由|A?|=|?|或(A?，A?)=(?,?)得 (A(?i+?j)，A(?i+?j))=(?i+?j， ?i+?j） 而 (A(?i+?j)，A(?i+?j)) =(A?i，A?i)+2(A?i，A?j)+(A?j，?j) =(?i，?i)+2(?i，?j)+(?j，?j) (?i+?j， ?i+?j）=(?i，?i)+2(?i，?j)+(?j，?j) 3)?4）设?1，?2，…，?n是V的标准正交基, A(?1，?2，…，?n)=(A?1，A?2，…，A?n) = (?1，?2，…，?n)A 由3), A?1，A?2，…，A?n是V的标准正交基,故A可看作是由标准正交基?1，?2，…，?n到标准正交基A?1，A?2，…，A?n的过渡矩阵,A是正交矩阵. 4)?1）设?1，?2，…，?n是V的标准正交基,且A在此基下的矩阵A为正交矩阵. 由(A?1，A?2，…，A?n)= (?1，?2，…，?n)A,知A?1，A?2，…，A?n也是V的标准正交基, 设?=x1?1+x2?2+…+xn?n,?=y1?1+y2?2+…+yn?n,则 A?=x1A?1+x2A?2+…+xnA?n A?=y1A?1+y2A?2+…+ynA?n (A?,A?)= x1y1+x2y2+…+xnyn (?,?)= x1y1+x2y2+…+xnyn 所以 (A?，A?)=(?，?),故A为正交变换. 三、正交矩阵 正交矩阵有以下几种等价定义. 定义3.1 A为n阶实矩阵,若ATA=E,则称A为正交矩阵. 定义3.2 A为n阶实矩阵,若AAT=E,则称A为正交矩阵. 定义3.3 A为n阶实矩阵,若AT=A-1,则称A为正交矩阵. 定义3.4 A为n阶实矩阵，若A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵. 性质3.1 设为A正交矩阵，则： 1）|A|=?1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵； 3）AT，A*也是正交矩阵. 证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=?1. 对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正交矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵. 2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又 (A-1)T=(AT)T=A=(A-1)-1=E. 故A-1是正交矩阵. 3)由2)知AT=A-1,AT是正交矩阵. 而A*=|A|A-1= ?A-1,有 (A*)T=(?A-1)T=?A=(A*)-1, 故A*是正交矩阵. 性质3.2 设A，B都是正交矩阵，则： 1)AB，Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA等都是正交矩阵； 证:1)由AT=A-1,BT=B-1可知 (AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1， 所以AB为正交矩阵，从而再由性质1可推知: Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA 等均为正交矩阵. 性质3.3: 1）设A，B为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B必不可逆； 2）设为A，B奇数阶正交矩阵，且|A|=|B|，则必A-B不可逆. 证：1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B||BT+AT||A| =-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B| 得|A+B|=0,即A+B不可逆. 2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B||BT-AT||A| =|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1)n|A-B| 知n为