曲线与曲面-哈尔滨工业大学.PPT

第四章 自由曲线与曲面（二） 哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红 Bezier曲线 1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用 Bezier曲线（1/19） Bezier基函数--Bernstein多项式的定义 Bezier曲线（2/19） Bernstein基函数的性质 正性 权性 对称性 降阶公式 升阶公式 Bezier曲线（3/19） 导数 积分 最大值 在t = i/n处取得最大值 线性无关性 是n次多项式空间的一组基 Bezier曲线（4/19） Bezier曲线的定义 n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线 控制顶点 控制多边形 Bezier曲线（5/19） Bezier曲线的性质 端点位置 Bezier曲线（6/19） 端点切矢量 导数曲线 Bezier曲线（7/19） 对称性 不是形状对称 保持贝塞尔曲线全部控制点Pi的坐标位置不变，只是将控制点Pi的排序颠倒 ，曲线形状保持不变 Bezier曲线（8/19） 凸包性 点集的凸包 包含这些点的最小凸集 Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内 Bezier曲线（9/19） 多值性 Bezier曲线（10/19） 几何不变性 平面曲线的变差缩减性 Bezier曲线（11/19） 二次Bezier曲线 n=2 抛物线 Bezier曲线（12/19） 三次Bezier曲线 n=3 Bezier曲线（13/19） 三次Bezier曲线的矩阵表示 Bezier曲线（14/19） 递推公式--De Casteljau算法 Bezier曲线（15/19） 曲线的拼接 Bezier曲线（16/19） 零阶几何连续条件 一阶几何连续条件 二阶几何连续条件？ Bezier曲线（17/19） 反求控制顶点 给定n+1个型值点，要求构造一条Bezier曲线通过这些点 Bezier曲线（18/19） 优点： 形状控制直观 设计灵活 Bezier曲线（19/19） 缺点： 所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活 B样条曲线（1/17） 产生： 1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线 优于Bezier曲线之处： 与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便 B样条曲线（2/17） 定义： 给定m+n+1个空间向量 ，(k=0,1,…,m+n)，称n次参数曲线 为n次B样条曲线的第i段曲线（i=0,1,…,m） 它的全体称为n次B样条曲线，它具有Cn-1连续性 B样条曲线（3/17） 为简化记号，取i=0来代表样条中的任意一段 基函数为B样条函数 B样条曲线（4/17） 二次B样条 n=2 抛物线 B样条曲线（5/17） 三次B样条 n=3 B样条曲线（6/17） 三次B样条的C2连续性 如果增加一个控制顶点P4，则前一段曲线是否会受影响？ B样条曲线（7/17） 特殊外形设计 三顶点共线 位于控制多边形边上的一个点 B样条曲线（8/17） 特殊外形设计 四顶点共线 含有直线段的曲线 B样条曲线（9/17） 特殊外形设计 两顶点重合 B样条曲线（10/17） 特殊外形设计 两顶点重合 相切于控制多边形边的曲线 B样条曲线（11/17） 特殊外形设计 三顶点重合 含有尖点的曲线 B样条曲线（12/17） 特殊外形设计 如何构造通过控制多边形某一顶点的B样条曲线？ B样条曲线（13/17） 在数据拟合中的应用 给定一组离散的型值点列，如何构造一条通过该组型值点的B样条曲线？ B样条曲线（14/17） 目标：构造三次B样条曲线通过型值点Pi，i=1,2,…,n-1 B样条曲线（15/17） 几种常见的边界条件： 首末两端加上导数条件 在控制多边形首末两条边的延长线上分别外延一点 设B1=B0,Bn=Bn-1，重顶点 B样条曲线（16/17） 基于曲率参数的边界条件构造法 解决零曲率问题 SuXiaohong, LiDong, ZhangTianwen, A new method to build boundary conditions