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提要20：如何推求正交轨迹
提要 20 ：如何推求正交軌跡？
正交軌跡(Orthogonal Trajectory)係指與原曲線族相互垂直的另一組曲線，其在霸基
滲流量的計算上有很重要的應用。推求正交軌跡有兩個重要原則，說明如下：
原則1 ：先將曲線族 改寫為一階微分方程式，此一過程，需設法消除積分
F x,y ;C 0
常數C 。為達成目的，最好將積分常數單獨放在等號之一邊：
f x,y C (1)
再對x 微分，則一定可以讓積分常數C 消失不見。設對x 微分後之一階常微分方程式可
表為：
dy (2)
g x ,y
dx
dy
其中 即代表在xy 座標平面上之斜率。
dx
原則2 ：原曲線族之斜率與正交曲線族之斜率相乘等於1 。因為原曲線族與正交曲線族
相互垂直，所以
(原曲線族的斜率) (正交曲線族的斜率) = 1 (3)
由式(2)知，原曲線族的斜率為g x ,y ；又因原曲線族與正交曲線族係位於同一平面，
dy
故正交曲線族之斜率亦應表為 ，故式(3)可改寫為：
dx
dy
g x ,y 1 (3’)
dx
故正交曲線族之斜率為：
dy 1
(3’’)
dx g x ,y
再引用一階常微分方程式的解法，即可求出正交曲線族之解。
範例一
試求圓族曲線x C2 y 2 C2 之正交軌跡。
【解答】
原則1 ：將原曲線族改寫為一階常微分方程式，目的是要知道斜率之方程式。
原式可化簡為：
x 2 2Cx C2 y 2 C2
x 2 y 2 2Cx
2 2
x y
2C
x
再對x 作微分：
y 2
d x
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