探索并掌握等比数列的通项公式.PPT

* §3 等比数列 3.1 等比数列 第1课时 等比数列 1.知识目标：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系并能用有关知识解决相应的问题. 2.能力目标：让学生对日常生活中的实际问题进行分析，引导学生通过观察，推导，归纳，抽象出等比数列的概念；由学生建立等比数列模型，用相关知识解决一些简单的问题，进行等比数列通项公式应用的实践操作. 3.情感目标：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识. 给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？ 猜一猜： 把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！ 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思是“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” . 如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为： 这就是我们今天所要研究的特殊数列——等比数列. 下面我们再看几个例子，考察等比数列的共同特征. （1）你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸、捏合、再拉伸、捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条. 这样捏合8次后可拉出多少根细面条？ 第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根，故有 第2次捏合成 根； 第3次捏合成 根； …… 第8次捏合成 根. 思考：一位拉面高手能用一块面连续拉出10多万根面条，你知道他需要捏合，拉伸多少次吗？ 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 1,2,4,8,16,32,64,128. ① 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都是2. （2）星火化工厂今年产值为a万元，计划在今后5年中每年比上年产值增长10％，试列出从今年起6年的产值（单位：万元）. 第1年产值：a; 第2年产值：a+a×10﹪=a(1+10﹪); 第3年产值： a(1+10﹪)+ a(1+10﹪) ×10﹪= …… 第6年产值： 故这6年的产值构成一个数列： 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都是1+10%. 研究上述数列的特征及变化规律，可以发现什么？ 等比数列的概念 可以看出数列①，②有如下的共同特征：从第2项起，每一项与前一项的比都是与项数n无关的常数. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.那么这个数列叫作等比数列，称这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0). 由此定义可知，对等比数列 ，有 等比数列定义： 因此，数列①的公比q=2；数列②的公比q=1+10%； 思考1：当公比q=1时，{an}是什么数列？ 思考2：将有穷等比数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等比数列吗？如果是，公比是什么？如果不是，请说明理由. 例1 以下数列中，哪些是等比数列？ 解: （1）是等比数列，公比q= （2）是公比为1的等比数列； （3）因为 所以该数列不是等比数列； （4）当a≠0时，这个数列为公比为a的等比数列；当a=0时，它不是等比数列. 等比数列的通项公式 已经知道了一个数列是等比数列，并且知道它的第一项 和公比q,怎样写出它的通项公式？ 设这个等比数列是 由等比数列的定义可以知道： 从而， 由此可归纳出 在这个公式里，如果令n=1,那么 由此可知， 也可以用这个公式来表示，所以这个公式就是所要求的通项公式，这就是说： 首项为 ，公比为q 的等比数列的通项公式是 例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值. 解 设等比数列的首项为 ，公比为q,则由已知，得 ② ① 将①式代入②式，得 解得 q =-3或q =2. 故数列的第8项是-4 374或256. 1.填空 （１）某种细菌在培养过程中，每半个小时分裂一次（一个分裂为两个），经过４小时，这种细菌由一个可繁殖成_______个. （2）已知等比数列的通项公式 ，则首项为_______公比为_______. 256 10 解：(1)方法1：由a4＝a1·q3得27＝a1· (－3)3，得 a1＝－1，∴a7＝a1·q6＝(－1)·(－3)6＝－729. 2.在等比数列{an}中： (1)若a4＝27，q＝-3，求a7； (2)若a2＝18，a4＝8，求