第九章 场的量子化及其状态的描述(详细版)改 激光物理(研究生).ppt

并且存在着如下对易关系 的本征值 En表示 的本征值，|n表示属于这一本征值的本征态，则 将 作用到态 上，利用（9-13），得： 将 作用到态 上，利用（9-13），得： 可见，如果|n为 的本征态，则 ， ….也是 的本征态，其本征值为 ，即，若En是 的本征值，则 也是 的本征值。 如果把能量 看成为一个简谐振子量子所具有的 能量，则算符 的作用是减少一个简谐振子量子，使能量本征值为En的态变为能量本征值为 的态。 算符 称为湮灭算符，同理，对算符 有 所以 前面的结果表明，由于光子数算符与位相算符之间不对易，量子化的电磁场的振幅与相位不能同时确定。 在光子数态|n下，振幅完全确定而相位完全不确定； 在位相态|φ下，相位完全确定而振幅完全不确定。 因此这两种态属于两个极端情形。 对于电磁场，通常我们既需要了解一定的振幅信息，也同时需要了解一定的相位信息。下面给出的相干态就能满足这一点。 9.4.1 相干态的定义 相干态存在多种等价定义，下面把相干态定义为湮灭算符的本征态 |α表示相干态，α为本征值。由于湮灭算符不是厄米算符，因此“本征值是实数”和“本征矢是正交和完备的”这些定理不再适用。因此本征值α可以为任意复数，即 9.4 相干态 9.4.1 9.4.2 为了讨论相干态的性质，利用粒子数态的完备性，将相干态用粒子数态展开 是光子数表象和相干态表象之间的变换系数。将上式代入本征方程，有 左边的求和可移动指标n→n+1，则 9.4.4 将上式左乘n|，利用光子数态的正交归一性，得 其中归一化系数C0可由相干态|α的归一化条件求得（忽略一个相位因子） 所以展开系数的递推关系 9.4.6 9.4.7 于是 因此，相干态可以表达为 相干态可以由光子数态|n的适当叠加构成 9.4.8 利用(9-18)（教材9-1-21），将上式改写为 9.4.9 9.4.2 相干态的性质 1、正交归一性 以及 9.4.10 9.4.11 α=β时，α|β=1，相干态是归一化的。 但是不同相干态之间不正交。 α≠β时，α|β≠0 如若| α-β|→∞时， β| α→0。可以认为两个相干态近似于正交 2、相干态下的平均光子数与光子分布 光子算符的期望值（平均光子数） 光子算符的方均根值 9.4.12 9.4.13 光子数的不准确程度 3、相干态的光子分布是泊松分布 当单模场处于相干态|α时，在相干态|α中发现n个光子的概率是 9.4.14 9.4.15 9.4.16 即相干态的光子数分布是Poisson分布。激光器在远高于阀值时，其光子分布就是Poisson分布，即激光场的光子就是相干态的光子。 或利用9.4.12 ，用平均光子数表示） 9.4.16 位相算符的平均值及方均根误差分别为： 4、相干态下的测不准关系式 光子数的不确定程度和位相的均方根误差都随平均光子数 的增加而减少。即当平均光子数很大时，相干态所对应的量子化电磁场，越来越接近具有确定振幅和固定相位的经典电磁场 位相的量子涨落偏差为 同理 这是测不准关系式（9-3-17）取极小值的情况 由前面的讨论可知，在相干态下，场的振幅和相位都是不确定的，但其不确定性，分别要比位相态下的振幅和光子数态下的相位不确定性小，光子数态和位相态是两个极端，而相干态介于二者其中，兼顾场的振幅和相位，并允许振幅和相位同时都有一定的不确定性，它们的不确定性满足测不准关系所允许的最小值 前面讨论量子化电磁场时，为方便计以特殊坐标系下的场量某一分量为例。依此类推，一般地，单模电场强度算符可以表达为 5、相干态下的电场强度的量子涨落 由此可以求得（α=|α|exp(iθ)） 于是，在相干态下场的起伏为 即电场幅度的起伏为与该模式的光子数无关，但相对起伏却随着光子数增大而减少。因此，当平均光子数|α|2较小时，场的振幅和相位都有一定的不确定度；而当平均光子数|α|2较大时，场趋向于同时有确定振幅和确定相位的经常场。如下图所示： 在相干态下，光子数少时，振幅与相位都有起伏；光子数较多时，振幅与相位起伏都变小 利用相干态的完备性关系，可以把态矢和算符按相干态展开 9.4.3 态矢与算符按相干态的展开 将任意态矢|F和相干态|α都用光子数态|n展开，可得到α|F的具体表达式（f