抛物线的定长弦中点横坐标的最小值.pdf

维普资讯 2002年 第 3期 数学通报 抛物线的定长弦中点横坐标的最小值 万述披 (湖北省石首市南岳中学 43440O) 促使我思考 抛“物线的定长弦中点横坐标的 然 lABl≥2p．由此可知： 度小于 2p的弦一定 最小值”这个 问题是在教学中遇到 了下面一道 不过焦点，即长度为3的弦不过抛物线v =4x的 题 ： 0 焦点，则它的中点Ⅳ到准线的距离 lMM l{． 定长为 5的线段A口的两端点在抛物线 = 1 4 上移动，设线段AB的中点为 ，求点 到准线 学生们回答的“{”显然是错误的! 的最短距离． 那么，弦长为3时，点 到准线的最短距离存 为该题提供的参考答案是这样解的： 不存在?若不存在，说明理由；若存在，是多少? 把弦AB分成两类： 我们回到问题的一艘隋形：A8为抛物线Y ： (1)弦AB过焦点，时， 2px的一条长为f的弦，其中点为 ，A，B， 三点 过 A， ，B分别作准线的 ／ 的坐标分别为(】，y1)，(2，y2)，(蜘，Y0)，设 到 垂线，垂足分别为 A ，肼 ， 准线的最短距离存在，试求之． B ． MM l 解 因为M到准线的距离等于0+罟，所以 (1肌 rI+IBB，1) 求 到准线的最短距离等价于求 的最小值． 当 ≥2p时，若AB过F，则 0： ；若 (1AFl+lBF 1) AB不过F，则 0 ，所以 0≥ ． = {IABl：音 当012p时，因为AB一定不过，，所以 (2)弦 AB不过焦点F 时，过 A， ，B分别作准线 知 ． 的垂线 ，垂足分别为 A ， 对于0f2p情形，下面我们用代数法研 M ，B ． 究 的最小值： 1MM l 如果 AB不垂直于 轴，则 2px = 寺(1AA l+lBB 1) 两式相减得 ，‰ = ． = {(1AFl+IBF1) 所以 ： y—Yo= (— 0)与y= 而在 ~xAFB中，lAFI+lBFllABl 联立消去 ，运用韦达定理和弦长公式 所以lMMl1IABI={ 综上得：lMM I≥{，所以点M到准线的最 lABl√11lj—2l=，得：