1迭代法的基本概念解线性代数方程组的迭代法.ppt

§1 迭代法的基本概念 §2 三种基本迭代法 * 第6章 解线性代数方程组的迭代法 考虑线性方程组 也就是 AX=b. (1.1) 低阶稠密的线性方程组用直接法(如高斯消去法和三角分解法)。 大型稀疏非带状的线性方程组(n很大,且零元素很多.如偏微方程数值解产生的线性方程组,n≥104)的求解问题？ 零元素多，适合用迭代法。 我们将介绍迭代法的一般理论及雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松弛迭代法，研究它们的收敛性。 例1 求解线性方程组 记为Ax=b,即 精确解x*=(3,2,1)T. 改写(1.2)为 或写为x=B0x+f,即 任取初值,如x(0)=(0,0,0)T,代入(1.3)得到x(1)= (2.5,3,3)T. 反复迭代 即 x(k+1)=B0x(k)+f， (k=0,1,2,…) 考虑线性方程组 也就是 Ax=b. (2.1) 一、雅可比迭代法 可以得到计算公式(雅可比迭代法) ：对k=0,1,…, 二、高斯—塞德尔迭代法 还可得到迭代计算公式：对k=0,1,…, 称为高斯—塞德尔迭代法. 例2 求解线性方程组(1.2) 取初值x(0)=(0,0,0)T, 高斯—塞德尔迭代法又等价于：对k=0,1,…, SOR迭代法的计算公式:对k=0,1,…, 三、逐次超松驰(SOR)迭代法 说明:1)ω=1,GS; 2)ω1超松驰,ω1低松驰; 3)控制迭代终止的条件: 例3 用上述迭代法解线性代数方程组 初值x(0)=0，写出计算格式。 定义6 （1）按行严格对角占优： （2）按行弱对角占优： 上式至少有一个不等号严格成立。 四、三种迭代法的收敛性 定理7 对线性方程组Ax=b，A，D非奇异，则 Jacobi迭代法收敛的充要条件是 GS迭代法收敛的充要条件是 SOR迭代法收敛的充要条件是 *定义 每行每列只有一个元素是1,其余 元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵). 定理8(对角占优定理)若矩阵A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优且不可约；则矩阵A非奇异。 定理9 若矩阵A按行(或列)严格对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。 证明 若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则GS迭代收敛。假若不然，ρ(BG)≥1，即迭代矩阵BG的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且 类似地，若矩阵A按行严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约，则Jacobi迭代收敛。假若不然，ρ(BJ)≥1，即迭代矩阵BJ的某一特征值λ使得|λ|≥1，并且 定理10 对线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则1）GS迭代法收敛. 2）若2D-A也是对称正定矩阵，则Jacobi迭代法收敛。 例8 见书上 定理12 对于线性方程组Ax=b，若A为对称正定矩阵，则当0ω2时，SOR迭代收敛. 证明 只需证明λ1（其中λ为Lω的任一特征值）. 定理13 对于线性代数方程组Ax=b， 若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0w≤1时，SOR迭代收敛。 *